Identifique a forma indeterminada e, em seguida, calcule o limite, indicando o método utilizado:

b ) lim x → + ∞ ⁡ x e 1 x - 1

Passo 1

Ooi pessoal, tudo bom por aí?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ x e 1 x - 1

O enunciado também nos pede para identificar a forma indeterminada e indicar o método utilizado.

Então vamos lá, o primeiro passo em qualquer questão de limite é substituir o valor que x está tendendo dentro da nossa função.

Aqui, como temos x → ∞ ,vamos substituir por um número muito grande apenas pra ver o que acontece:

lim x → + ∞ ⁡ x e 1 x - 1 → 10 10 ⋅ ( e 1 10 10 - 1 )

O primeiro termo tende a infinito, mas o segundo termo tende a zero. Isso nos traz uma indeterminação. Mas, pra que a gente consiga identificar a forma indeterminada bem bonitinho, e também pra resolver o limite, vamos fazer uma mudança de variáveis:

u = 1 x

Logo:

lim x → + ∞ ⁡ x e 1 x - 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 u

Daí, se substituirmos u → 0 vamos ter:

lim u → 0 ⁡ e u - 1 u = 1 - 1 0 = 0 0

Portanto, encontramos a nossa forma indeterminada. Vamos ver como podemos remover essa indeterminação pra calcular o limite 😊

Passo 2

Bom, agora temos que resolver o seguinte limite:

lim u → 0 ⁡ e u - 1 u

Para resolvê-lo podemos usar a regra de L’hopital!

Basicamente, se nós temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , essa regra nos diz que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x  

Tranquilo?

Vamos aplicá-la!

lim u → 0 ⁡ e u - 1 u = lim u → 0 ⁡ e u - 1 ' u '

Temos:

e u - 1 ' = e u

E:

u ' = 1

Logo:

lim u → 0 ⁡ e u - 1 ' u ' = lim u → 0 ⁡ e u

Daí, é só substituir u → 0 , e vamos ter:

lim u → 0 ⁡ e u = e 0 = 1

Portanto:

lim x → + ∞ ⁡ x e 1 x - 1 = 1

Eaí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

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