UFRJ, P2-2019.2
é uma cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual é a dimensão do Núcleo de ?
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Passo 1
Tranquileba pessoal, o enunciado disse pra gente que a matriz tem dimensões , isto é, dado temos e . Além disso, ele afirma pra gente que o espaço coluna dessa matriz tem dimensão igual a , e pede para descobrirmos a dimensão do Núcleo de , e é ai que ele começa com a malícia.
Porque quando ele diz o espaço formado pelas colunas, precisamos lembrar que o espaço coluna tem a mesma dimensão da Imagem.
Então quando ele diz que o espaço coluna tem dimensão igual a , na verdade ele ta querendo dizer que a .
Passo 2
Tá começando a ficar bonito, agora que a gente sabe disso, podemos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para relacionar essas duas dimensões, isto é, dada uma matriz o teorema afirma que:
Logo, para , temos:
E substituindo o valor de , chegamos em:
Logo:
Portanto, a dimensão do núcleo de é igual a 1, letra (c).
Resposta
Letra c, .