Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem
Uma transformação linear é chamada de projeção quando , e simetria quando (Onde é a transformação identidade)
Determine se as transformações abaixo são projeções ou simetrias:
dada por
dada por
Seja uma projeção. Mostre que a transformação linear dada por é uma simetria.
Mostre que se é uma projeção, então .
Seja uma projeção. Mostre que se , então .
Supondo que tenha dimensão finita, mostre que para toda projeção temos
Dica: Observe que todo pode ser escrito como .
Passo 1
Letra
Bom, o que temos que fazer nessa questão é ver quais delas satisfazem as condições do enunciado. Vamos começar por :
Portanto, é simetria, pois satisfaz .
Passo 2
Agora para , vamos ver o que dá:
Logo, satisfaz e é de projeção.
Passo 3
Letra
Assim, vamos equacionar nossa tese. Queremos ver se é uma simetria, então .
Então temos que provar que:
Desenvolvendo , vamos abrir esta expressão, já que é linear:
Agora lembre que , então:
Mas como é uma projeção, então . Assim ficamos com:
E, assim, como é uma simetria.
Passo 4
Letra
Queremos verificar que:
Já que .
Desenvolvendo:
Mas como é uma projeção por hipótese, então , e assim:
E, portanto .
Passo 5
Letra
Queremos saber se , então vamos aplicar nossas hipóteses para ver se isso é verdade.
Se , então existe um tal que . Ou seja, tem um cara lá no domínio que gera .
Como é uma projeção, então
E assim:
Mas como , concluímos que .
Passo 6
Letra
Caramba como farei isso?? Bom existe um jeito mais fácil que a dica. Se repararmos na dica podemos perceber que:
E pela letra sabemos que . E podemos perceber também que por definição. Então perceba que um elemento genérico pode ser formado por um cara do núcleo somado com o da imagem, e assim podemos perceber que:
Passo 7
MASSS AINDA NÃO ACABOU! FALTA PROVAR QUE A INTERSEÇÃO É ZERO! Para isso vamos usar o Teorema Núcleo-Imagem.
Como a soma dos dois dá o espaço e a soma das dimensões também, então a soma é direta.
Resposta
simetria; : projeção.