Dada a transformação abaixo:
ache geradores para o núcleo, e calcule sua dimensão;
verifique se é injetiva;
verifique se é sobrejetiva.
Passo 1
Para achar o Núcleo, precisamos achar quais vetores do domínio que aplicados em levam a transformação em zero. Podemos equacioná-la assim:
Igualando coordenada a coordenada:
Passo 2
Portanto os vetores que geram o núcleo são os vetores que possuem: , na primeira coordenada, , na segunda coordenada, e , na terceira coordenada.
Assim concluímos que:
E, portanto, .
Passo 3
Como o Núcleo de , contém somente o vetor nulo, podemos dizer, pelo teorema que relaciona injetividade e o núcleo, que ela é injetiva.
Passo 4
Ahh então agora basta calcular os geradores da imagem e sua dimensão e depois... NÃO!!!!!
Até é verdade que podemos fazer isso, se você foi por ai e calculou a dimensão, você está correto! Mas É MUITO MAIS RÁPIDO calcularmos através do teorema núcleo-imagem! Perceba só:
Ao olharmos para a fórmula, podemos perceber que a “carrega” vetores do e devolve também no . Assim:
E, assim, .
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula temos:
Repare que esse 3 é a dimensão do DOMÍNIO! Por acaso, nossa transformação possui domínio e contra-domínio iguais! E, por isso, .
Como a dimensão da imagem é igual a do CONTRA-DOMÍNIO, a é sobrejetiva.
Resposta
e .
Sim.
Sim.