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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem

Sejam T   : R n ⟶ R m e S   : R m ⟶ R k duas transformações lineares injetivas.

( a ) Mostre que n ≤ m ≤ k .

Passo 1

Para mostrar isso, devemos usar o teorema núcleo-imagem. Na transformação T temos:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T

Mas como T é injetiva, dim ⁡ N u c T = 0 e assim:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T = n

Na transformação S :

dim ⁡ N u c S + dim ⁡ I m S = dim ⁡ D o m S

Mas como S é injetiva, dim ⁡ N u c S = 0 e assim:

dim ⁡ I m S = dim ⁡ D o m S = m

Passo 2

-

Agora vamos estudar os casos. Em T sabemos que dim ⁡ I m T = n , e por definição de imagem, ela está contida no contradomínio, R m , então I m T ⊂ R m e assim n ≤ m .

Agora podemos fazer a mesma coisa para a S . Em S , sabemos que dim ⁡ I m S = m e, por definição de imagem, ela está contida no contradomínio, R k , então I m S ⊂ R k e assim m ≤ k .

Logo, podemos concluir que n ≤ m ≤ k .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)