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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

A2 T13 T14

Considere as seguintes afirmações:

I Existe uma transformação linear T : R 13 → R 17 que seja injetiva.

I I Existe uma transformação linear T : R 18 → R 12 que seja sobrejetiva.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

c   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

d   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

Passo 1

Afirmativa I :

Se T é injetiva, dim ⁡ N u c T = 0 . Pelo T N I teríamos:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T

0 + dim ⁡ I m T = 13

dim ⁡ I m T = 13

As únicas limitações que temos para a imagem de T é que seja um número natural e que dim ⁡ I m T ≤ dim ⁡ C D o m T e, de fato,

13 ≤ 17

Então existe sim uma transformação linear T : R 13 → R 17 que seja injetiva. Verdadeira.

Passo 2

Afirmativa I I :

Se T é sobrejetiva, dim ⁡ I m T = dim ⁡ C D o m T = 12 . Pelo T N I teríamos:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T

dim ⁡ N u c T + 12 = 1 8

dim ⁡ N u c T = 6

As únicas limitações que temos para o núcleo de T é que seja um número natural e que dim ⁡ N u c T ≤ dim ⁡ D o m T e, de fato,

6 ≤ 1 8

Então existe sim uma transformação linear T : R 18 → R 12 que seja sobrejetiva. Verdadeira.

Resposta

Letra a