Teorema do Núcleo e da Imagem
Seja é polinômio de grau ,
e seja a transformação linear:
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
não é linear
O núcleo de tem dimensão
A imagem de tem dimensão
A imagem de tem dimensão
Passo 1
Primeiro eu vou logo verificar se é de fato linear ou não.
Para ser linear, a transformação das combinações lineares tem que ser igual à combinação linear das transformações. Tipo:
Será que isso acontece? (Não se esqueça que nesse caso os vetores são polinômios.)
Vamos ver. Sejam , polinômios distintos:
Aí dá pra fazer a distributiva:
Se eu botar agora o e o em evidência:
Agora colocando o e o em evidência:
E isso é exatamente:
Então é linear (o que já era meio óbvio, porque ele disse que era linear no enunciado ¬¬’).
Mas por desencargo de consciência, a letra foi descartada. =D
Passo 2
Agora vamos analisar o núcleo e a imagem da .
A gente já sabe que , já que tem quatro vetores na base canônica, .
Também sabemos que , pois a base é , que tem três vetores.
- Qual o núcleo de ?
É só resolver o sistema homogêneo
Agora é só igual os termos que tem o mesmo grau:
Das quatro equações nós tiramos que , então o núcleo é o vetor nulo (ou o polinômio identicamente nulo, como preferir.
Assim , e não . Essa é falsa.
Passo 3
Para decidir entre e : qual é a dimensão da imagem de ?
Bom, a gente sabe que o domínio da transformação é , e também que .
Então, usando o :
Então a dimensão da imagem é .
Resposta
Letra