Seja uma base de um subespaço de e seja o subespaço gerado por , e .
a) Determine uma base para .
b) Determine uma base para .
c) A soma é direta? Justifique.
Passo 1
a) Para determinar uma base para nós temos que encontrar um conjunto gerador de que seja LI.
O conjunto gerador nós já temos (, e ). Vamos escalonar a matriz cujas linhas são esses elementos
:
:
Opa! Pera! De cara a gente já encontrou que temos duas linhas iguais nessa matriz, portanto, , e são L.D.
Vamos ter que descartar qualquer um desses 3 geradores para encontrarmos uma base L.I. para .
Descartando vamos ter que uma base para é
Passo 2
b) vai ser o conjunto da união da base de com a base de :
Vamos repetir o processo do item anterior para eliminar os vetores que são combinações lineares dos outros:
:
:
:
Opa, a última linha deu nula, isso quer dizer que esse conjunto é L.D.!! Então precisamos tirar um dos geradores para eles ficarem L.I. e termos uma base para .
Tirando o último vetor, vamos ter a base
Passo 3
c) Não é uma soma direta, pois observe que
Então, pelo teorema do núcleo-imagem, , ou seja, .
Resposta
a)
b)
c) Não, pois .