Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Considere a transformação linear T : R 4 → R 3 dada por:

T x , y , z , w = ( x + y + z , - 2 y + 4 z , - x - 4 y )

(a) T é injetora? Justifique.

(b) T é sobrejetora? T é bijetora? Justifique. Calcular uma base da imagem de T.

Passo 1

(a) Sabemos que se

N u c T = 0

ou seja, se o único elemento do núcleo for o vetor nulo, então a transformação linear T é injetora.

Vamos calcular o núcleo de T então.

Para isso igualamos a transformação ao vetor nulo.

T x , y , z , w = x + y + z , - 2 y + 4 z , - x - 4 y = 0,0 , 0

Vamos ficar com o sistema linear:

x + y + z = 0 - 2 y + 4 z = 0 - x - 4 y = 0

Da segunda equação, tiramos que:

- 2 y + 4 z = 0 ⇒ 2 y = 4 z

y = 2 z

Somando a primeira e a terceira equação:

- 3 y + z = 0

Substituindo y = 2 z nessa última equação:

- 3 2 z + z = 0

- 5 z = 0

z = 0

Logo:

y = x = 0

Então os elementos do núcleo são os elementos do domínio da forma:

x , y , z , w = 0,0 , 0 , w = w ( 0,0 , 0,1 )

Então, o único elemento do núcleo vai ser o vetor:

N u c T = ( 0,0 , 0 , 1 )

Como o núcleo não é vazio, a transformação não é injetora.

Passo 2

(b) Vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem pra responder essa questão.

Lembrando: o teorema diz que se temos uma transformação

T : U → V

Então:

D i m U = D i m N u c T + D i m ( I m T )

Nessa questão, nossa transformação é:

T : R 4 → R 3

Portanto, o domínio é o R 4 e:

D i m R 4 = 4

Na letra (a), calculamos o núcleo de T e vimos que:

N u c T = ( 0,0 , 0,1 )

Logo:

D i m N u c T = 1

Substituindo essas duas informações no teorema:

D i m R 4 = D i m N u c T + D i m I m T

4 = 1 + D i m I m T

D i m I m T = 3

O contradomínio da nossa transformação T é o R 3 e:

D i m R 3 = 3

Como:

D i m I m T = D i m R 3 = 3

A transformação T é sobrejetora.

Porém, como ela não é injetora (vimos isso na letra (a)!), a transformação não é bijetora.

Passo 3

Já que T é sobrejetora, seu contradomínio é igual à imagem.

Logo, uma base para a imagem de T pode ser a base canônica do R 3 mesmo:

β I m T = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Resposta

(a) T não é injetora

(b) T é sobrejetora, mas não é bijetora.

β I m T = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1