Considere a transformação linear dada por:
(a) T é injetora? Justifique.
(b) T é sobrejetora? T é bijetora? Justifique. Calcular uma base da imagem de T.
Passo 1
(a) Sabemos que se
ou seja, se o único elemento do núcleo for o vetor nulo, então a transformação linear T é injetora.
Vamos calcular o núcleo de T então.
Para isso igualamos a transformação ao vetor nulo.
Vamos ficar com o sistema linear:
Da segunda equação, tiramos que:
Somando a primeira e a terceira equação:
Substituindo nessa última equação:
Logo:
Então os elementos do núcleo são os elementos do domínio da forma:
Então, o único elemento do núcleo vai ser o vetor:
Como o núcleo não é vazio, a transformação não é injetora.
Passo 2
(b) Vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem pra responder essa questão.
Lembrando: o teorema diz que se temos uma transformação
Então:
Nessa questão, nossa transformação é:
Portanto, o domínio é o e:
Na letra (a), calculamos o núcleo de T e vimos que:
Logo:
Substituindo essas duas informações no teorema:
O contradomínio da nossa transformação T é o e:
Como:
A transformação T é sobrejetora.
Porém, como ela não é injetora (vimos isso na letra (a)!), a transformação não é bijetora.
Passo 3
Já que T é sobrejetora, seu contradomínio é igual à imagem.
Logo, uma base para a imagem de T pode ser a base canônica do mesmo:
Resposta
(a) T não é injetora
(b) T é sobrejetora, mas não é bijetora.