A2 T14
Seja uma transformação linear tal que e . Todas as afirmativas abaixo são necessariamente verdadeiras, à exceção de:
não é injetiva.
é sobrejetiva.
Passo 1
Vamos letra por letra:
Essa vamos fazer tirando vantagem da linearidade do produto interno! Primeiro escrevemos em função dos vetores e já que conhecemos o valor da aplicada neles.
Pela temos que:
Substituindo na :
Agora substituímos de novo na :
Passo 2
Sendo assim, temos:
Chegamos no resultado da alternativa. Então essa é verdadeira! Mas queremos a falsa então vamos para a próxima letra.
Passo 3
Bom, se não é injetiva, então a dimensão do seu núcleo é sempre maior que . Se analisarmos essa nossa transformação pelo , teremos que:
Mas sabemos que o domínio de é o . Além disso, sabemos que a imagem está no contradomínio que é o . Isso quer dizer que a dimensão da imagem está limitada a no máximo ! Se jogarmos isso na nossa equação:
Ou seja, para o valor máximo da dimensão da nossa imagem, nosso núcleo tem dimensão . Se diminuirmos a dimensão da imagem a dimensão do núcleo só aumentará! Então é impossível termos o núcleo com dimensão e ela realmente não é injetiva.
Passo 4
Novamente, vamos usar a linearidade da transformação, mas dessa vez vamos usar nos resultados! Assim oh:
Isolando em :
Substituindo em :
Substituindo de novo em :
Passo 5
Logos, temos que:
Claramente não bate, então essa é a falsa que estávamos procurando! Mesmo tendo achado a resposta vamos dar uma olhada na última alternativa,
Passo 6
Se é sobrejetiva, então a dimensão da sua imagem é igual à dimensão do seu contradomínio, que no caso é . Ta, mas e como descobrimos a dimensão da imagem? Bom, o enunciado já deu pra gente de bandeja! Repare que as transformações que ele deu:
Geram dois vetores diferentes no ! Se a transformação é capaz de gerar dois vetores do então ela é capaz de gerar o inteiro! Então essa é verdadeira como esperávamos.
Resposta
Letra