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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q5

Considere a matriz A =   1 - 1 2 3 e a transformação linear T : M 2 R   → M 2 ( R ) definida por T X = X A - A X , para todo X ∈ M 2 ( R ) . Nessas condições, dim ⁡ I m ( T )   é   i g u a l   a :

Passo 1

Falaaaa, blz?? A motivação para sabermos o que vamos fazer é pensar como aparecer dim ⁡ I m ( T ) . Uma forma de chegar nisso é pelo teorema do núcleo imagem. Vamos lembrar como é o teorema:

seja T : U → V :

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

Passo 2

No caso dessa transformação da questão já sabemos a dim ⁡ M 2 ( R ) , agora basta achar dim ⁡ K e r T

Vamos tomar X ∈ K e r ( T ) , como essa matriz tá no núcleo sua imagem é nula.

T X = X A - A X = 0  

X A = A X

Tomando X = a b c d

a b c d 1 - 1 2 3 = 1 - 1 2 3 a b c d

a + 2 b - a + 3 b c + 2 d - c + 3 d = a - c b - d 2 a + 3 c 2 b + 3 d

a + 2 b = a - c - a + 3 b = b - d c + 2 d = 2 a + 3 c - c + 3 d = 2 b + 3 d

2 b = - c                         - a + 2 b = - d 2 d = 2 a + 2 c - c = 2 b                      

a = 2 b + d c = - 2 b        

Logo:

X = a b c d = 2 b + d b - 2 b d = b 2 1 - 2 0 + d 1 0 0 1

Logo, K e r T = 2 1 - 2 0 , 1 0 0 1  

Passo 3

Então dim ⁡ K e r T = 2

Usando o teorema do núcleo imagem:

dim ⁡ M 2 ( R ) = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

4 = 2 + dim ⁡ I m ( T )

dim ⁡ I m T = 2

Resposta

Letra (a)