Calcule, caso exista

w )   lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 3 x + 4 - ln ⁡ x + 2 x + 4      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 3 x + 4 - ln ⁡ x + 2 x + 4     = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 3 x + 2 x + 4    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 3 x + 2 x + 4     = lim x → - ∞ ⁡ e ln ⁡ x + 3 x + 2 x + 4 = lim x → - ∞ ⁡ e ( x + 4 ) ln ⁡ x + 3 x + 2    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → + ∞ ⁡ ( x + 4 ) ln ⁡ x + 3 x + 2  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → + ∞ ⁡ ( x + 4 ) ln ⁡ x + 3 x + 2  

Substituindo o x por ainda encontramos uma indeterminação, mas não temos ela no expoente! então já tá melhor!

Passo 3

Podemos organizar um pouco mais para termos uma indeterminação do tipo da regra de L’hospital

lim x → + ∞ ⁡ ( x + 4 ) ln ⁡ x + 3 x + 2   = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 3 x + 2 1 ( x + 4 )  

Agora sim temos uma indeterminação do tipo 0 0 e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → + ∞ ⁡ - 1 ( x + 3 ) ( x + 2 ) - 1 ( x + 4 ) 2   = lim x → + ∞ ⁡ ( x + 4 ) 2 ( x + 3 ) ( x + 2 )  

No infinito podemos desprezar aquele + 4 do numerador e os + 3 e + 2 denominador e ficamos com

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ( x 2 )   = 1

E retornando para a exponencial

e lim x → + ∞ ⁡ ( x + 4 ) ln ⁡ x + 3 x + 2  

= e 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e

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