Calcule:

a ) lim x → ∞ ⁡ ( x 2 + 1 - x )

Passo 1

Fala aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ ( x 2 + 1 - x )

O passo inicial nas questões de limites é sempre tentar substituir o valor que x está tendendo e verificar se já conseguimos determinar pra onde o limite está tendendo, ou se caímos em algum absurdo matemático.

Nesse caos, como x → ∞ , não dá pra substituir, mas vamos fazer uma análise.

Quando x → ∞ , o termo:

x 2 + 1 → ∞

Analogamente, o termo:

x → ∞

Daí, quando fazemos a subtração, ficamos com algo do tipo:

lim x → ∞ ⁡ ( x 2 + 1 - x ) = ∞ - ∞

E, não conseguimos determinar o resultado dessa operação...Puts, vamos precisar pensar um pouco mais então!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Como temos uma indeterminação nessa parte de cima do nosso limite, uma ideia interessante é multiplicarmos pelo inverso da racionalização, sabe?

Tipo, se tivéssemos:

1 x 2 + 1 - x

Pra racionalizar, teríamos que multiplicar por:

x 2 + 1 + x x 2 + 1 + x

Vamos fazer a mesma coisa agora, porém vamos ficar com uma raiz no denominador. Temos:

x 2 + 1 - x = x 2 + 1 - x ⋅ x 2 + 1 + x x 2 + 1 + x

= x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 + x

Logo:

x 2 + 1 - x = 1 x 2 + 1 + x

Excelente! Conseguimos remover a subtração do numerador, e no denominador temos uma soma, que não deixa aquela indeterminação no limite.

Então, vamos aplicar o limite usando essa expressão que desenvolvemos.

Temos:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 - x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 + x

Como já vimos, ambos os termos do denominador tendem a infinito. Dessa forma, temos um numerador constante, dividido por um número muuuuuito grande.

Quanto que isso dá?

Isso aí, dá zero.

Portanto:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 + x = 0

E é isso galerinha! Obrigado pela atenção de vocês!

Até a próxima 😉

Resposta

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