Calcule:

b ) lim x → + ∞ ⁡ ( x 3 + 1 1 3 - x )

Passo 1

Ooi gente, tudo bem?

Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 1 1 3 - x

O passo inicial nas questões de limites é sempre tentar substituir o valor que x está tendendo e verificar se já conseguimos determinar pra onde o limite está tendendo, ou se caímos em algum absurdo matemático.

Nesse caos, como x → ∞ , não dá pra substituir, mas vamos fazer uma análise.

Quando x → ∞ , o termo:

x 3 + 1 1 3 → ∞

Analogamente, o termo:

x → ∞

Daí, quando fazemos a subtração, ficamos com algo do tipo:

lim x → ∞ ⁡ ( x 3 + 1 1 3 - x ) = ∞ - ∞

E, não conseguimos determinar o resultado dessa operação...Puts, vamos precisar pensar um pouco mais então!

Vem com a gente 😊

Passo 2

A ideia principal aqui é fazermos o processo inverso ao da racionalização, para tirarmos essa indeterminação do numerador e jogar uma soma no denominador.

Para isso vamos usar um produto notável bem interessante dos polinômios cúbicos:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Nesse caso, vamos chamar:

a = x 3 + 1 1 3 b = 1

Daí, temos:

x 3 + 1 1 3 3 - x 3 = x 3 + 1 1 3 - x ⋅ x 3 + 1 2 3 + x 3 + 1 1 3 x + x 2

Manipulando lado esquerdo dessa expressão, temos:

x 3 + 1 1 3 3 - x 3 = x 3 + 1 - x 3

= 1

Daí, ficamos com:

1 = x 3 + 1 1 3 - x ⋅ x 3 + 1 2 3 + x 3 + 1 1 3 x + x 2

Esse primeiro termo do lado direito é justamente àquele em que estamos aplicando o limite. Isolando-o, vem que:

x 3 + 1 1 3 - x = 1 x 3 + 1 2 3 + x 3 + 1 1 3 x + x 2

Excelente! Removemos a subtração que trazia a indeterminação no numerador e deixamos apenas somas no denominador! Hora de aplicar o limite novamente.

Passo 3

Vamos aplicar o limite usando a nossa nova expressão, ou seja:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 1 1 3 - x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 + 1 2 3 + x 3 + 1 1 3 x + x 2

Então pessoal, no denominador temos a seguinte expressão:

x 3 + 1 2 3 + x 3 + 1 1 3 x + x 2

Quando x → ∞ essa expressão também vai tender ao infinito, pois só temos termos dependentes de x sendo somados.

Daí, o limite que estamos calculando é um número constante no numerador dividido por um número muito grande no denominador.

Logoo, esse limite é nulo.

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 + 1 2 3 + x 3 + 1 1 3 x + x 2 = 0

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Resposta

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