Calcule os limites abaixo, caso existam. Caso não existam, justifique.

c ) lim x →   + ∞ ⁡ s e n 1 2 x c o s ⁡ ( x 2 )

Passo 1

Eaí pessoaaal, quem tá animado pra aniquilar mais um limitezinho?

Aqui temos:

lim x →   + ∞ ⁡ s e n 1 2 x c o s ⁡ ( x 2 )

O primeiro passo, como sempre, permanece sendo substituir x pelo número que ele está tendendo. Aqui x tende a + ∞ (que não é exatamente um número), mas vamos imaginar que substituímos um número muito grande na nossa expressão:

s e n 1 2 x → 0

Mas c o s ⁡ ( x 2 ) vai ficar indeterminado.

Eaí, o que podemos fazer?

Bom, tem um teorema muito legal que vai nos ajudar já que o valor do cosseno está indeterminado.

É o teorema do anulamento. Ele diz que o limite de uma função tendendo a zero multiplicado por uma função limitada é sempre zero.

Vamos então buscar aplicar essa ideia na nossa questão.

Passo 2

Queremos calcular:

lim x →   + ∞ ⁡ s e n 1 2 x cos ⁡ x 2

Esse limite é formado por duas funções:

f x = s e n 1 2 x g x = cos ⁡ x 2

Quando x → ∞ , temos que 1 2 x → 0 . Logo:

f x → 0

Já a funç��o c o s ⁡ ( x 2 ) fica indeterminada. Porém, sabemos que a função cosseno obedece sempre:

- 1 ≤ cos ⁡ x 2 ≤ 1

Ou seja, a função c o s ⁡ ( x 2 ) é limitada.

Ou seja, temos o produto de uma função que tende a zero, f ( x ) , por uma função que é sempre limitada, c o s ⁡ ( x 2 ) . Logo, pelo teorema do anulamento, vem que:

lim x →   + ∞ ⁡ s e n 1 2 x cos ⁡ x 2 = 0

E é issooo! Matamos mais um limite!

Valeeu, até a próxima 😊

Resposta

lim x →   + ∞ ⁡ s e n 1 2 x cos ⁡ x 2 = 0

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