Calcule os limites abaixo

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x

Passo 1

Oii pessoal, bora macetar essa comigo?

Vamos calcular o limite lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x

prestando atenção para chegarmos à resposta correta.

Por substituição direta, temos um indeterminação, então vamos fazer algumas manipulações.

Passo 2

Vamos multiplicar o termo entre parênteses pelo seu conjugado:

x 2 + 1 - x = x 2 + 1 + x x 2 + 1 - x x 2 + 1 + x

Observe que, da seguinte identidade a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) o numerador se tornará:

x 2 + 1 2 - x 2 = x 2 + 1 - x 2 = 1

Portanto:

x 2 + 1 - x = 1 x 2 + 1 + x

Passo 3

Substituindo a expressão simplificada no limite original:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x

lim x → + ∞ ⁡ x 1 x 2 + 1 + x

Utilizando propriedades de limites

Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por x

lim x → + ∞ ⁡ x x ⋅ 1 x 2 + 1 x + x x

Simplificando a expressão

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 x + 1

Além disso,

x 2 + 1 x ≈ x 2 x = x x = 1

se aproxima de 1 também:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 = 1 2

Portanto, o limite lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x

é igual a 1 / 2  

Resposta

1 2

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