Calcule os limites abaixo

h )   lim x → - ∞ ⁡ x 2 ( 1 + cos 2 ⁡ x ) x + cos ⁡ x 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos avaliar o limite dessa função aqui

lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + cos 2 ⁡ x x + cos ⁡ x 2

Quando x tende a de - ∞ , precisamos avaliar se não temos uma indeterminação do tipo

0 0     o u     ∞ ∞

Nesses casos precisamos manipular a função para levantar a indeterminação

E é exatamente nosso caso! Então a ideia aqui é manipular essa função para levantar a indeterminação e avaliar novamente o limite!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

O limite que vamos analisar é esse aqui

lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + cos 2 ⁡ x x + cos ⁡ x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + cos 2 ⁡ x x 2 + 2 x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x

E como comentei ali em cima, precisamos manipular essa função! Mas qual caminho seguir? Vem comigo que te ajudo!

Sempre que tivermos uma razão de polinômios, vamos identificar o termo dominante (de maior potência) e colocar ele em evidência, tanto em cima quanto embaixo, e avaliar o limite.

Assim, qualquer termo que tenha 1 x n → 0 (para n ≥ 1 ) e ficamos com o comportamento a função no infinito!

Beleza?

E as funções cos ⁡ x e cos 2 ⁡ x ? Saca só o gráfico delas

Você percebe que essas funções são periódicas? Isso! E não só isso, elas são limitadas também! Isso significa que a função vai se repetir indefinidamente entre os valores entre - 1 e 1 no caso do cosseno e 0 e 1 do cosseno ao quadrado! Então quando avaliarmos novamente o limite, precisamos levar isso em consideração!

Passo 3

Vamos olhar com mais carinho para nosso limite

lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + cos 2 ⁡ x x 2 + 2 x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x

O termo predominante é o x 2 , então é ele que vamos colocar em evidência:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + cos 2 ⁡ x x 2 1 + 2 cos ⁡ x x + cos 2 ⁡ x x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x 1 + 2 cos ⁡ x x + cos 2 ⁡ x x 2

Aí temos que quando x → + ∞

2 cos ⁡ x x + cos 2 ⁡ x x 2 → 0

E aí ficamos com os números 1 + cos 2 ⁡ x no numerador e 1 no denominador

lim x → - ∞ ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x

Mas olha só, não falamos sobre a periodicidade do cosseno ao quadrado? E de como ele é limitado? Então, no infinito não podemos dizer quanto ele vale, e assim o numerador

1 + cos 2 ⁡ x

Não tem um valor definido, e, portanto, esse limite não existe!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

n ã o   e x i s t e

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