1. Calcule os limites:
  1. lim x → ∞ ⁡ x x 2 - 1
  2. lim x → 1 ⁡ x 3 - 3 x + 2 x 2 + x - 2

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos um limite tendendo a infinito para resolver!
  2. A primeira coisa que faremos para tentar resolver esse limite é substituir na função e descobrir o que dá:

    lim x → ∞ ⁡ x x 2 - 1 = ∞ ∞

    Repara que caímos em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ .

    Agora vamos tentar resolver esse limite!

    Passo 2

    Galera, quando tiver uma indeterminação deste tipo, a primeira coisa a fazermos é colocar o x em evidência. Fica assim:

    lim x → ∞ ⁡ x x 2 - 1 = lim x → ∞ ⁡ x x 1 - 1 x 2

    Repara que agora podemos cortar o x ,

    lim x → ∞ ⁡ 1 1 - 1 x 2

    Por fim, vamos substituir o na função. Lembrando que uma costante dividida por um número muito grande tenderá a zero. Logo,

    lim x → ∞ ⁡ 1 1 - 1 x 2 = 1 1 - 0 = 1

    Agora vamos para letra b!

    Passo 3

  3. Na letra b, quando substituímos x=1, encontramos uma indeterminação do tipo 0 / 0 ,

lim x → 1 ⁡ x 3 - 3 x + 2 x 2 + x - 2 = 1 3 - 3 1 + 2 1 2 + 1 - 2 = 0 0

Para resolver essa indeterminação, temos que escrever esses polinômios. Pra isso, vamos precisar fatorar.

Vamos começar pelo denominador que é um polinômio de segundo grau. Para quem lembra, podemos reescrever um polinômio de segundo grau como um produto da seguinte forma:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde, x 1 e x 2 são as raízes da equação.

Vamos achar as raízes do polinômio do denominador, usando Bhaskara:

x 2 + x - 2 = 0

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 - 2 2 1 = - 1 ± 9 2 = - 1 ± 3 2

Logo as raízes são,

x 1 = - 2

x 2 = + 1

Uma vez que sabemos as raízes, podemos reescrever nosso denominador assim,

x 2 + x - 2 = 1 x + 2 x - 1

Então nosso limite fica assim,

lim x → 1 ⁡ x 3 - 3 x + 2 x 2 + x - 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 - 3 x + 2 x + 2 x - 1

Agora vamos mexer no nosso numerador!

Pessoal, a ideia aqui é encontrarmos um termo que anule o ( x - 1 ) , para que não zere embaixo e conseguirmos determinar o nosso limite.

Passo 2

Para transformar um polinômio de terceiro grau em um produto polinômios, vamos usar Briot-Ruffini para a seguinte divisão, pois queremos que apareça um termo x - 1 :

x 3 - 3 x + 2 x - 1

Para quem não lembra, primeiro a gente arma o quadro!

Escreva num quadro, como abaixo, os coeficientes do polinômio que se quer dividir alinhados do lado direito superior. A raiz do polinômio que dividimos deve estar do lado esquerdo superior. Já o primeiro coeficiente, do maior grau do polinômio, fica do lado direito inferior, logo abaixo de onde o escreveu em cima:

OBS.: Repare que colocamos um 0 ali ocupando o espaço do grau x 2 . Para qualquer grau entre o grau máximo e o grau 0 que tenha coeficiente nulo no polinômio, você precisa sempre escrever um 0 no lugar do seu coeficiente.

Agora, multiplique a raiz pelo primeiro coeficiente, que você reescreveu embaixo ainda, e some-o com o próximo coeficiente (nesse caso, ( 1 ) . ( 1 ) + ( 0 ) = 1 ). Escreva o resultado embaixo do segundo coeficiente, fica assim:

A ideia é repetir isso até chegarmos na última coluna,

Escreva o resultado com os coeficientes ordenados, sendo o primeiro que aparece na direita inferior aquele que acompanha x elevado a n - 1 e assim por diante até o penúltimo, que será o termo independente de x , uma constante! O último termo é o resto da divisão:

x 3 - 3 x + 2 x - 1 = x 2 + x - 2

Agora vamos voltar para o nosso limite!

Passo 3

Agora que já fatoramos os polinômios do numerador e denominador, podemos escrever o nosso limite assim:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 3 x + 2 x 2 + x - 2 = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 x + 2 x - 1

Simplificando e calculando o limite, ficamos com

= lim x → 1 ⁡ x 2 + x - 2 x + 2 = 1 2 + 1 - 2 1 + 2 = 0

Prontinho!

Resposta

  1. 1
  2. 0

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