Calcule o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

Temos a divisão entre dois polinômios com x indo para , aqui vamos usar um truque, vamos colocar em evidência o x de maior grau do numerado e depois fazemos a mesma coisa com o denominador, não entendeu nada? Vamos pegar a fração e fazer isso com calma

x x 2 + 1

Qual o maior grau de x no numerador? 1 né? Vamos colocar x em evidência no numerador

x x 2 + 1 = x 1 x 2 + 1

Agora para o denominador, qual o maior grau dele? 2 né? Vamos colocar x 2 em evidência no denominador

x 1 x 2 + 1 = x 1 x 2 1 + 1 / x 2

Agora vamos simplificar os valores de x

x 1 x 2 1 + 1 / x 2 = 1 x 1 + 1 / x 2

Beleza, arrumamos a fração, mas porque diabos fizemos isso?

Repara que o limite de um número qualquer divido por x n vai para SEMPRE para 0 , porque? Olha para isso

lim x → ∞ ⁡ a x n = a ∞ = 0

Isso vai zerar muita gente e sobrar pouca coisa, vamos ver como fica o limite

Passo 2

Vamos voltar para o limite, trocando a fração por aquela arrumada que demos

lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 + 1 / x 2

Usando as propriedades de limites, o limite vai ficar

lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 + 1 / x 2 = 1 ∞ 1 + 0 = 1 ∞ = 0

Então chegamos numa conta de boa de fazer, esse limite vai ser 0 , sacou a marotagem desse tipo de questão? Isso serve tanto para + ∞ quanto para - ∞ não importa aquela divisão a x n vai para 0 nos dois casos.

Resposta

0

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