2) Calcule os seguintes limites

a)

lim t → ∞ ⁡ e t 1 - e t

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa pede pra gente calcular o limite de uma função e a primeira coisa que fazemos pra calcular um limite é tentar fazer a substituição da tendência da variável na própria função e ver no que dá.

Vamos fazer isso, então. Vem comigo que te ajudo!

Passo 2

Podemos pensar em fazer o limite da seguinte forma:

lim t → ∞ ⁡ f t = f ∞

Assim, teríamos:

lim t → ∞ ⁡ e t 1 - e t = e ∞ 1 - e ∞

Mas

e ∞ 1 - e ∞ = ∞ - ∞ = - ∞ ∞

Opa!!! Isso aí não pode não. Acabamos de cair em uma indeterminação matemática.

Mas o bom é que a essa altura do campeonato os professores já estão confiando um pouco mais nas nossas capacidades matemáticas e nos deixam usar a famosa e queridinha regra de l’Hôspital. Ela é de arrasar corações.

Passo 3

A regra de l’Hôspital diz que quando caímos em indeterminações do tipo ∞ ∞ ou 0 0 , podemos tentar recalcular o limite usando a fração formada pelas derivadas do numerador e denominador da fração original.

Assim:

l i m f x g x   = l i m f ' x g ' x

Assim, nosso limite se torna:

lim t → ∞ ⁡ e t 1 - e t = lim t → ∞ ⁡ e t ' 1 - e t '

Derivando em cima e embaixo, ficaremos com:

lim t → ∞ ⁡ e t 1 - e t = lim t → ∞ ⁡ e t - e t

Podemos cortar e t , e teremos:

lim t → ∞ ⁡ e t - e t = lim t → ∞ ⁡ - 1

e

lim t → ∞ ⁡ - 1 = - 1

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

lim t → ∞ ⁡ e t 1 - e t = - 1

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