Calcule os seguintes limites

j ) lim x → ∞ ⁡ x sin ⁡ π x

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular esse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ x sin ⁡ π x

Nosso primeiro instinto é substituir o x , mas fazendo isso encontramos ∞ . sin ⁡ 0

E agora, como sair daqui?

Quando encontramos 0 . ∞ e temos a função seno precisamos lembrar do limite fundamental trigonométrico

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ A A = 1

Então a ideia aqui é rescrever nosso limite para que possamos usar essa propriedade do limite fundamental!

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar rescrevendo o produto de x por uma divisão de 1 x (que dá no mesmo – olha o truque sujo!)

lim x → ∞ ⁡ x sin ⁡ π x = lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ π x 1 x

E agora multiplicar em cima e embaixo por π

lim x → ∞ ⁡ π sin ⁡ π x π x = π lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ π x π x

, então precisamos fazer uma mudança de variáveis!

Se chamarmos u = π x , quando x → ∞

u → π ∞ = 0

E aí teremos nosso limite indo a zero!

π lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ π x π x = π lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ⏝ = 1

= π . 1 = π

Pronto! Temos nosso limite!

Espero ter ajudado! Vamos treinar mais?

Resposta

π

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