Os limites lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - 2 x cos ⁡ x 5 x 4 e lim x → 0 - ⁡ 4 x 4 + x 2 4 x valem, respectivamente:

  1. 2 5 e 1 2
  2. 3 5 e - 1 2
  3. 2 5 e - 1 2
  4. 1 5 e 0
  5. 1 5 e 1 2

Passo 1

Esse primeiro limite é um pouco feio, mas pode relaxar que a gente tira de letra. Todo limite quando a gente bate o olho a primeira coisa a fazer é substituir pra ver o que acontece. Mas como cos ⁡ + ∞ é meio estranho, uma boa primeira ideia seria separar o limite assim:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - 2 x cos ⁡ x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 5 x 4 - 2 x cos ⁡ x 5 x 4

Usando as propriedades dos limites, temos:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - 2 x cos ⁡ x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 5 x 4 - lim x → + ∞ ⁡ 2 x 5 x 4 ∙ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x

Vamos resolver um de cada vez, tranquilo? Começando pelo primeiro e já dando as devidas mexidinhas, chegamos ao resultado:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 x 2 5 = lim x → + ∞ ⁡ 3 5 = 3 5

Agora fazendo o segundo limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 2 1 5 x 3 = 2 1 + ∞ = 2 0 = 0

E na verdade nem precisamos fazer o terceiro limite! O resultado final vai ser:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - 2 x cos ⁡ x 5 x 4 = 3 5 - 0 ∙ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - 2 x cos ⁡ x 5 x 4 = 3 5

Passo 2

Agora pro próximo, pra começar, vamos substituir e ver o que acontece:

lim x → 0 - ⁡ x 4 + x 2 2 x = 0 0

Bem, deu uma indeterminação. Pra fugir dela agora, uma estratégia boa é a seguinte: Por em evidência em cima o 4 x 2 . Saca só:

lim x → 0 - ⁡ 4 x 4 + x 2 4 x = lim x → 0 - ⁡ 4 x 2 x 2 + 1 4 x = lim x → 0 - ⁡ 2 x x 2 + 1 4 x

Pela definição de módulo:

x 2 = x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Como estamos tendendo a 0 por valores menores que ele, vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ 4 x 4 + x 2 4 x = lim x → 0 - ⁡ 2 x x 2 + 1 4 x = lim x → 0 - ⁡ - 2 x x 2 + 1 4 x

lim x → 0 - ⁡ 4 x 4 + x 2 4 x = lim x → 0 - ⁡ - x 2 + 1 2 = - 0 + 1 2 = - 1 2

A letra com a resposta correta é a B

Resposta

L e t r a   B

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