Sejam f e g duas funções definidas em [ a , + ∞ ) , com g ( x ) ≠ 0 para todo x ≥ a , tais que l i m x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = 0 e l i m x → + ∞ g ( x ) = 0 . Calcule, caso exista, l i m x → + ∞ f ( x ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado define duas funções, f e g , tal que g ( x ) ≠ 0 para todo x ≥ a no conjunto [ a , + ∞ ) . O enunciado garante que

l i m x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = 0

e, também que

l i m x → + ∞ g ( x ) = 0

E, tendo isso em mente, devemos avaliar

l i m x → + ∞ f ( x )

Aqui não existem muitas possibilidades para o limite pedido, vamos reescrever um pouco esse limite, saca só

Passo 2

A afirmação

l i m x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = 0

é bastante limitante para o limite pedido, note que podemos escrever que

l i m x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = l i m x → + ∞ f ( x ) l i m x → + ∞ g ( x ) = 0

note que como temos que

l i m x → + ∞ g ( x ) = 0

Se tivermos uma constante finita dividida por zero, o resultado será infinito.

Então a única forma da definição estar coerente é se tivermos uma indeterminação, ou seja, temos duas possibilidades

l i m x → + ∞ f ( x ) = ± ∞ e l i m x → + ∞ f ( x ) = 0

se queremos um limite que exista, é preciso que

l i m x → + ∞ f ( x ) = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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