Usando as regras de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:

(a) h x = x 4 - tan ⁡ x ∙ x 3 + 4 x 2 .

(b) h x = x + sen ⁡ ( x ) x 3 - e x .

(c) h x = cos ⁡ ( 3 x 5 + 1 ) .

Passo 1

(a) Então pessoal, agora vamos mexer só com as regras da derivação. Aqui não tem segredo, tem que seguir a receita mesmo!

A primeira função é essa aqui:

h x = x 4 - tan ⁡ x ∙ x 3 + 4 x 2

Tá, é um produto de duas funções, então a gente tem que usar a regra do produto, que é essa:

h x = f x g x         ⇒           h ' x = f ' x g x + f x g ' x

Quem são f ( x ) e g ( x ) nesse caso? É só comparar com a função da questão:

f x = x 4 - tan ⁡ x

g x = x 3 + 4 x 2

Vamos tirar as derivadas dessas duas funções separadamente, e depois a gente joga tudo na regra do produto.

Passo 2

Então tá, primeiro vamos calcular f ' x :

f x = x 4 - tan ⁡ x

Tem dois termos aí nessa função. Olha o que acontece com a derivada nesse caso:

f ' x = d d x x 4 - d d x tan ⁡ x

Tranquilo, né? É só derivar cada um. Começando pela da esquerda.

Nesse caso, a gente tem que reescrever a raiz quarta como um exponente:

d d x x 4 = d d x   x 1 / 4

E agora é só usar a regra da derivada de uma potência:

d d x x a = a x a - 1

Então:

d d x   x 1 / 4 = 1 4 x 1 4 - 1 = 1 4 x - 3 / 4

Beleza, então por enquanto nossa derivada está assim:

f ' x = 1 4 x - 3 / 4 - d d x tan ⁡ x

E a derivada da tangente? Essa não tem segredo, é só consultar uma tabela:

d d x tan ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Então:

f ' x = 1 4 x - 3 / 4 - sec 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos ver a outra derivada:

g x = x 3 + 4 x 2

g ' x = d d x x 3 + d d x 4 x 2

Aqui é só usar aquela regrinha que apareceu no passo de cima:

d d x x a = a x a - 1

Então olha o que acontece:

d d x x 3 = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

d d x 4 x 2 = 4 d d x x 2 = 4 2 x 2 - 1 = 8 x

Isso quer dizer que:

g ' x = 3 x 2 + 8 x

Passo 4

Agora é só jogar tudo que a gente calculou na regra do produto. A gente viu que:

h ' x = f ' x g x + f x g ' x

E acabamos de calcular que:

f x = x 4 - tan ⁡ x g x = x 3 + 4 x 2         ⇒ f ' x = 1 4 x - 3 / 4 - sec 2 ⁡ x g ' x = 3 x 2 + 8 x

Então, substituindo:

h ' x = 1 4 x - 3 4 - sec 2 ⁡ x x 3 + 4 x 2 + x 4 - tan ⁡ x 3 x 2 + 8 x

Pronto! Não vale a pena simplificar mais do que isso, só vai complicar mais as coisas!

Passo 5

(b) Agora vamos derivar essa função aqui:

h x = x + sen ⁡ ( x ) x 3 - e x

Antes de mais nada, vamos fazer uma tabelinha com as derivadas de cada um desses termos, que são todas bem simples:

d d x x = x 1 - 1 = x 0 = 1

d d x sen ⁡ x = cos ⁡ x

d d x x 3 = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

d d x e x = e x

Legal, isso vai facilitar bastante a nossa vida. Agora vamos olhar pra nossa função: ela é um quociente. Então vamos usar a regra do quociente, que é essa aqui:

h x = f ( x ) g ( x )         ⇒           h x = g x f ' x - f x g ' x g x 2

Quem são f ( x ) e g ( x ) no nosso caso?

f x = x + sen ⁡ ( x ) g x = x 3 - e x

E usando a nossa tabelinha, fica fácil calcular as derivadas dessas duas funções:

f ' x = d d x x + d d x sen ⁡ ( x ) g ' x = d d x x 3 - d d x e x

f ' x = 1 + cos ⁡ x g ' x = 3 x 2 - e x

Passo 6

Beleza, estamos quase lá. Agora é só substituir essas expressões na fórmula da regra do quociente:

h ' x = g x f ' x - f x g ' x g x 2

Lembrando que:

f x = x + sen ⁡ ( x ) g x = x 3 - e x         ⇒   f ' x = 1 + cos ⁡ x g ' x = 3 x 2 - e x

Então:

h ' x = x 3 - e x 1 + cos ⁡ x - x + sen ⁡ x 3 x 2 - e x x 3 - e x 2

Aqui vale a pena tentar simplificar um pouco. Vamos multiplicar os parênteses no numerador:

h ' x = x 3 + x 3 cos ⁡ x - e x - e x cos ⁡ x - 3 x 3 + x e x - 3 x 2 sen ⁡ x + e x sen ⁡ x x 3 - e x 2

E aí podemos somar o x 3 com o - 3 x 3 :

h ' x = - 2 x 3 + x 3 cos ⁡ x - e x - e x cos ⁡ x + x e x - 3 x 2 sen ⁡ x + e x sen ⁡ x x 3 - e x 2

E colocar e x e x 3 em evidência:

h ' x = x 3 cos ⁡ x - 2 + e x sen ⁡ x - cos ⁡ x + x - 1 - 3 x 2 sen ⁡ x x 3 - e x 2

Pronto!

Passo 7

(c) Agora vamos para a última derivada:

h x = cos ⁡ ( 3 x 5 + 1 )

É uma função composta! Ou seja, tem uma função dentro da outra:

h x = cos ⁡ x g x = 3 x 5 + 1         ⇒           h g x = cos ⁡ ( 3 x 5 + 1 )

Então tá, como a gente tira derivada de função composta? Usando a regra da cadeia!

Pra explicar essa regra, vamos chamar g x de u . Então vamos ficar com:

h x = cos ⁡ x u = 3 x 5 + 1         ⇒         h u = cos ⁡ u = cos ⁡ 3 x 5 + 1

E a regra da cadeia diz o seguinte:

d h d x = d h d u d u d x

Entendeu? É a derivada da função “de fora” vezes a derivada da função “de dentro”. Quando a gente resolver vai ficar mais claro.

Passo 8

Dá uma olhada na fórmula de novo:

d h d x = d h d u d u d x

Vamos começar fazendo d h / d u :

h u = cos ⁡ u

d h d u = d d u cos ⁡ u = - sen ⁡ u

Até aqui nenhum segredo, certo? A derivada do cosseno é sempre o negativo do seno.

Agora vamos fazer d u / d x :

u = 3 x 5 + 1

d u d x = d d x 3 x 5 + d d x 1

Temos a derivada de uma potência e a derivada de uma constante. Vai ficar assim:

d u d x = 3 d d x x 5 + d d x 1

d u d x = 3 5 x 5 - 1 + d d x 1

E como a derivada da constante é zero:

d u d x = 15 x 4 + 0 = 15 x 4

Passo 9

Agora é só voltar á na expressão da regra da cadeia:

d h d x = d h d u d u d x

A gente viu que:

h x = cos ⁡ x u = 3 x 5 + 1         ⇒     d h d u = - sen ⁡ u d u d x = 15 x 4    

Então:

h ' x = - sen ⁡ u 15 x 4

h ' x = - 15 x 4 sen ⁡ u

Substituindo u = 3 x 5 + 1 :

h ' x = - 15 x 4 sen ⁡ 3 x 5 + 1

Resolvido!

Resposta

(a) h ' x = 1 4 x - 3 4 - sec 2 ⁡ x x 3 + 4 x 2 + x 4 - tan ⁡ x 3 x 2 + 8 x .

(b) h ' x = x 3 cos ⁡ x - 2 + e x sen ⁡ x - cos ⁡ x + x - 1 - 3 x 2 sen ⁡ x x 3 - e x 2 .

(c) h ' x = - 15 x 4 sen ⁡ 3 x 5 + 1 .

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