Calcule as derivadas das funções a seguir:

n)

y = x x + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos calcular a derivada da seguinte função y :

y = x x + 1

Para isso, devemos utilizar a regra do quociente. Em outras palavras, sejam f e g duas funções diferenciáveis. A derivada do quociente f g é dada por:

f g ' = f ' * g - f * g ' g 2

Tranquilo, né?

Vamos relembrar também que a derivada de uma potência qualquer x n é dada da seguinte forma:

f ' x = n x n - 1

E aí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... aplicando a derivada do quociente na nossa expressão, obtemos:

y ' = x x + 1 ' ∴

y ' = x + 1 x ' - x x + 1 ' x + 1 2 ∴

y ' = x + 1 x 1 2 ' - x x + 1 ' x + 1 2

Aplicando a regra da potência em x 1 2 ' e em x + 1 ' , temos:

y ' = x + 1 1 2 x - x * 1 x + 1 2 ∴

Desenvolvendo a expressão, temos:

y ' = x + 1 2 x - x * 2 x 2 x x + 1 2 ∴

y ' = x + 1 2 x - 2 x 2 x x + 1 2 ∴

y ' = x + 1 - 2 x 2 x x + 1 2 ∴

y ' = 1 - x 2 x x + 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y ' = 1 - x 2 x x + 1 2

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