3) Sejam f e g funções diferenciáveis tais que

- f 0 = 7

- f ' x = 8 f x + 5 1 + x 2

- g x = f x cos ⁡ ( 2 x )

Para todo x . O valor de g ' ' ( 0 ) é

Escolha uma:

A. 461

B. 459

C. 462

D. 458

E. 460

Passo 1

Faaala pessoal! Como vocês estão? Com certeza estudando muito, né? Então bora pra mais uma questão!

O que precisamos encontrar nesse exercício é a derivada segunda de g ( x ) . Ou seja, precisamos derivar a primeira vez e, como temos o produto entre f ( x ) e cos ⁡ ( 2 x ) utilizaremos a regra do produto:

f ' x * cos ⁡ 2 x + f x - 2 sin ⁡ ( 2 x )

Como conhecemos f ' ( x ) , podemos substituir:

8 f x + 5 1 + x 2 * cos ⁡ 2 x - 2 f x sin ⁡ ( 2 x )

Simplificando:

g ' = 8 f x cos ⁡ ( 2 x ) + 5 cos ⁡ ( 2 x ) 1 + x 2 - 2 f x sin ⁡ ( 2 x )

Passo 2

Perfeito! Agora que já fizemos a primeira derivada, faremos a segunda.

Uma dica aqui é dividir a função em três partes:

a = 8 f x cos ⁡ 2 x

b = 5 cos ⁡ ( 2 x ) 1 + x 2

c = - 2 f x sin ⁡ ( 2 x )

Derivando a parte a . Como temos um produto, usaremos a regra do produto:

8 f ' x * cos ⁡ 2 x + f x * - 2 sin ⁡ 2 x

8 f ' x * cos ⁡ 2 x - 16 f x sin ⁡ ( 2 x )

Passo 3

Já a parte b possui uma divisão. Portanto utilizaremos a regra do quociente.

- 10 x 2 sin ⁡ 2 x - 10 x cos ⁡ 2 x - 10 sin ⁡ ( 2 x ) x 2 + 1 2

Já a parte c também é um produto:

- 2 f ' x sin ⁡ 2 x + f x * 2 cos ⁡ 2 x

- 2 f ' x sin ⁡ 2 x - 4 f x cos ⁡ ( 2 x )

Passo 4

Agora que temos as partes derivadas, vamos unir:

g ' ' = 8 f ' x * cos ⁡ 2 x - 16 f x sin ⁡ ( 2 x ) - 10 x 2 sin ⁡ 2 x - 10 x cos ⁡ 2 x - 10 sin ⁡ ( 2 x ) x 2 + 1 2 - 2 f ' x sin ⁡ 2 x - 4 f x cos ⁡ ( 2 x )

Como queremos g ' ' ( 0 ) , vamos colocar x = 0 e substituir os f ' ( x ) :

g ' ' = 8 * 8 f 0 + 5 1 + 0 2 * cos ⁡ 0 - 16 f 0 * sin ⁡ 0 - 10 * 0 2 * sin ⁡ 0 + 10 * 0 * cos ⁡ 0 + 10 * sin ⁡ 0 1 2 - 2 8 f 0 + 5 1 + x 2 * sin ⁡ 0 - 4 f 0 cos ⁡ 0

Como sin ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 , além de f 0 = 7 :

8 * 8 * 7 + 5 * 1 - 4 * 7 * 1

488 - 28

Então:

g ' ' 0 = 460

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

E. 460

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