Determine a derivada das funções abaixo

p )   f x = x 3 + x e x c o t g   x

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = x 3 + x e x c o t g   x

E pediu a derivada!

Nós já aprendemos como calcular a derivada do produto de DUAS funções, mas e de três?

É bem tranquilo! É seguir o mesmo raciocínio da regra do produto com duas: deriva a primeira, copia as outras, deriva a do meio, copia as outras, deriva a terceira, copia as outras...

Vamos com um exemplo!

Vamos supor o produto de três funções ( f g h ) então a derivada disso fica assim:

f g h ' = f ' g h + g ' f h + h ' f g

Vamos supor que nossa função seja ( x 2 s e n   x l n   x ) , então a derivada disso é:

x 2 s e n   x ln ⁡ x ' = 2 x s e n x ln ⁡ x + x 2 c o s x ln ⁡ x + x 2 s e n x 1 x

Podemos simplificar apenas o último termo:

x 2 s e n x ln ⁡ x ' = 2 x s e n   x ln ⁡ x + x 2 cos ⁡ x ln ⁡ x + x   s e n   x

Então a ideia aqui é identificar essas três funções na função que queremos derivar, fazer as derivadas e simplificar o que der.

Beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você

Passo 2

Nossa função é essa aqui

f x = x 3 + x e x c o t g   x

E podemos dizer que é o produto de três funções:

( x 3 + x )

e x

c o t g ( x )

E as derivadas de cada uma delas é:

  • Primeiro de x 3 + x , aqui vou usar a regra da potência: transformar os radicais em potências, derivar e arrumar:
  • x 3 + x ' = x 1 3 + x 1 2   ' = 1 3 x 1 3 - 1 + 1 2 x 1 2 - 1

    = 1 3 x 2 3 + 1 2 x  

  • Agora a exponencial: e x
  • e x ' = e x

    (essa foi tranquila!)

  • Por fim a cotangente (olho na tabela!):

c o t g x ' = - c o s s e c 2 ( x )

Beleza?

Passo 3

Com as derivadas na mão, vamos agora aplicar a regra do produto na função f :

f ' x = x 3 + x ' . e x . c o t g ( x ) + e x ' . ( x 3 + x ) . c o t g x + c o t g x ' . ( x 3 + x ) . e x

Usando os resultados das derivadas do passo anterior, agora é só substituir aqui

f ' x = 1 3 x 2 3 + 1 2 x e x c o t g x + x 3 + x e x c o t g   x - x 3 + x e x c o s s e c 2 ( x )

Tranquilo?

Fica essa coisa enorme, mas é isso mesmo! O raciocínio é o mesmo da derivada do produto de duas funções: deriva uma, multiplica pelas outras..., soma, deriva a outra e multiplica as demais, faz assim até derivar pelo menos uma vez todas as partes da função

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f ' x = 1 3 x 2 3 + 1 2 x e x c o t g x + x 3 + x e x c o t g   x - x 3 + x e x c o s s e c 2 ( x )

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