Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x l n ⁡ ( x - 1 )

Passo 1

O que é a regra do L’Hopital? Simplesmente nossa salvação quando temos um limite difícil de resolver! Hahah

Basicamente você vai derivando a função até ela parar de dar ruim kkkk

Por exemplo, nessa função aí de cima...se você substituir x → 1 vai ver que o segundo l n ⁡ vai dar uma inconsistência, pois daria ln ⁡ 1 - 1 = l n ⁡ ( 0 ) que não existe. Então, precisamos derivar essa função e ir vendo o que vai acontecer.

Passo 2

Vamos chamar f x = ln ⁡ x l n ⁡ ( x - 1 )

Se queremos

lim x → 1 ⁡ f ' x  

Precisamos calcular sua derivada, e, percebe que temos o produto de duas funções!!!!! Vamos então usar a REGRA DO PRODUTOOOOO, que diz o seguinte:

f x = g x h ( x )

f ' x = g ' x h x + g x h ' ( x )

Vamos fazer isso então? Vamos chamar de g x = l n ⁡ ( x ) e h x = l n ⁡ ( x - 1 )

Fazendo suas derivadas, temos:

g ' x = 1 x

h ' x = 1 x - 1

Substituindo, temos:

f ' x = 1 x ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x 1 x - 1

g ' t = 2 3 5 × t 2 3 - 1 + 5 3 t 5 3 - 1 = 0

Passo 3

Note que não resolvemos nosso problema, pois ao fazer:

lim x → 1 ⁡ f ' x

Teremos novamente um ln ⁡ x - 1 = l n ⁡ ( 0 ) que é algo que não existe. Perceba que pela regra do L’Hopital, teríamos que continuar derivando infinitamente até essa desgraça do l n ⁡ ( 0 ) sumir kkkkk, mas isso NUNCA VAI ACONTECER nessa função, porque quando derivarmos de novo e de novo e de novo (e de novo mil vezes), o l n ⁡ ( x - 1 ) vai continuar ali.

Ou seja, o limite pra f ( x ) com x → 1 NÃO EXISTE!!!

Resposta

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x l n ⁡ ( x - 1 ) = N Ã O   E X I S T E ‼ !

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