Derive a seguinte função:

f x = x 2 + 2 x + sen ⁡ x x 3 + 5

Passo 1

Como temos uma fração, podemos calcular a derivada, usando a regra do quociente:

f ' x = x 2 + 2 x + sen ⁡ x ' x 3 + 5 - x 3 + 5 ' x 2 + 2 x + sen ⁡ x x 3 + 5 2

Passo 2

Vamos calcular cada uma das derivadas e depois substituir: x 2 + 2 x + sen ⁡ x ' = 2 x + 2 + cos ⁡ x

x 3 + 5 ' = 3 x 2

Passo 3

Agora, substituindo:

f ' x = 2 x + 2 + cos ⁡ x x 3 + 5 - 3 x 2 x 2 + 2 x + sen ⁡ x x 3 + 5 2

Agora é legal simplificar tudo, mas grande parte do desafio da questão já foi feito. Se você estiver sem tempo na prova, mais vale priorizar resolver outras questões. Para completar tudo bem bonito, vamos concluir aqui: f ' x = 2 x 4 + 2 x 3 + x 3 cos ⁡ x + 10 x + 10 + 5 cos ⁡ x + - 3 x 4 - 6 x 3 - 3 x 2 sen ⁡ x x 3 + 5 2

= - x 4 - 4 x 3 + 10 x + 10 + 5 cos ⁡ x - 3 x 2 sen ⁡ x + x 3 cos ⁡ x x 3 + 5 2

Resposta

f ' x = - x 4 - 4 x 3 + 10 x + 10 + 5 cos ⁡ x - 3 x 2 sen ⁡ x + x 3 cos ⁡ x x 3 + 5 2

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62. a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' . b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .c) Conjecture uma fórmula pa
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