Calcule a primeira derivada de cada uma das funções abaixo

a )   f x = π x - 1 x 3 - x 2 + e

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma função! Nossa função é essa aqui

f x = π x - 1 x 3 - x 2 + e

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

Vamos resolver lembrando das regras de derivação que aprendemos! Como essa função não está exatamente na lista de fórmulas (derivada de polinômio, trigonométrica, exponencial, etc...) precisamos tentar enxergar a função como um produto/quociente/função composta e aplicar as regras!

Belezinha até aqui?

Nada mais justo do que lembrarmos delas...

Regra do produto

f g ' = f ' g + g ' f

Regra do quociente

f g ' = f ' g - g ' f g 2

Regra da cadeia

f g ' = f ' g .   g '

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = π x - 1 x 3 - x 2 + e

E pode ser vista como um produto de duas funções:

f g = π x - 1 x 3 - x 2 + e

f = π x - 1 x 3

g = - x 2 + e

Sendo assim podemos aplicar a regra do produto

f g ' = f ' g + g ' f

Então a ideia aqui é calcular as derivadas de f e g separadamente, depois jogar na regra do produto!

f :

f = π x - 1 x 3 = π x - x - 3

f ' = π - - 3 x - 3 - 1 = π + 3 x 4

Agora a função g :

g = - x 2 + e

g ' = - 1 2

Tranquilo? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Bora substituir o resultado que guardamos na regra do produto!

f g ' = f ' g + g ' f

Do passo anterior:

f = π x - 1 x 3 → f ' = π + 3 x 4

g = - x 2 + e → g ' = - 1 2

#partiu substituir:

f g ' = π + 3 x 4 - x 2 + e + - 1 2 π x - 1 x 3

E é isso! Nossa derivada fica assim:

f ' x = π + 3 x 4 - x 2 + e - 1 2 π x - 1 x 3

Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?

Resposta

f ' x = π + 3 x 4 - x 2 + e - 1 2 π x - 1 x 3

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