Considere a função

f x = x l n x ,     x > 0

Obtenha a equação da reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto a , f a . Em que ponto a reta tangente é paralela a y - 2 x + 10 = 0 ?

Passo 1

Falaaa, blzzz?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova

Essa questão cita equação de reta tangente a um ponto, esse conceito te lembra algo??

Para fazermos esse problema vamos lembrar do seguinte conceito:

Seja y = f x uma curva, temos f ' ( x ) a derivada da equação dessa curva, daí tiramos que:

f ' ( a ) é o coeficiente da reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto a , f a .

A ideia será aplicar isso no problema.

Passo 2

Bom, como foi dito, nosso objetivo é achar a derivada de f e analisar ela no ponto x = a , bora calcular essa derivada?

Veja que f é o produto de duas funções:

f x = x l n x = g x h ( x ) , por exemplo, onde g x = x e h x = l n x

Então para calcularmos f ' iremos usar a regra do produto, que é:

Se tivermos: f x = g x h x :

Temos que:

f ' x = g ' x h x + g x h ' ( x )

Aplicando isso na função do enunciado:

f ' x = x ' l n x + x l n x '

Vale lembrarmos que: x ' = 1   e   l n x ' = 1 x

Logo: f ' x = l n x + x 1 x = l n x + 1

Passo 3

Como foi dito, temos que o coeficiente da reta tangente, o qual chamaremos de m a , em ( a , f a ) será f ' a , ou seja:

m a = f ' a = ln ⁡ a + 1

Agora, vamos lembrar que se temos o coeficiente de uma reta, um ponto no qual ela passa podemos calcular a equação da reta da seguinte forma:

r :     y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde m é o coeficiente e ( x 0 , y 0 ) um ponto da reta.

Como a reta da questão é tangente no ponto ( a , f a ) , em particular, esse ponto tá na reta, ou seja, vamos usar isso e aplicar a fórmula para achar a reta:

r :               y - a l n a = ( ln ⁡ a + 1 ) ( x - a )

Ou seja:

y = x ln ⁡ a + 1 - a

Assim acaba a primeira parte, bora ver o resto

Passo 4

Agora queremos saber em que ponto a reta tangente é paralela a y - 2 x + 10 = 0 .

Para que duas retas sejam paralelas precisamos que seus coeficientes sejam iguais, bora achar o coeficiente dessa retinha?

Note que:

y = 2 x - 10

temos que m 2 = 2

Ou seja, queremos achar um ponto de f tal que a reta tangente nesse ponto seja paralela a y = 2 x - 10 , ou ainda, que o coeficiente seja 2 . Traduzindo para a matemática:

f ' b = ln ⁡ b + 1

Como queremos paralelismos:

ln ⁡ b + 1 = 2

Ou seja

ln ⁡ b = 1

Logo: b = e

Por isso, temos que a reta tangente em b , f b = ( e , f e ) é paralela a y - 2 x + 10 = 0 , ou seja, o ponto em questão é:

e , f e = e , e l n e = ( e , e )

Resposta

r e t a   :   y = x ln ⁡ a + 1 - a

p o n t o   ( e , e )

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