Derive a função:

f x = s e n 2 x .   x 3 + 2 x 2 / 3

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! O problema deu essa função aqui:

f x = s e n 2 x .   x 3 + 2 x 2 / 3

E pediu sua derivada!

Logo de cara vemos que tem um produto de funções: o seno está multiplicando uma potência fracionária. Então para derivar vamos usar a Regra do Produto

f x = g . h

A derivada de f é:

f ' x = g ' h + h ' g

Então nossa missão é:

  • Identificar g e h e derivar cada uma;
  • Substituir na regra do produto;
  • E por fim, se for possível, simplificar.

Tranquilo até aqui?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é:

f x = s e n 2 x .   x 3 + 2 x 2 / 3

Vamos identificar as funções. Para a função g temos

g = s e n ( 2 x )

Cuja derivada é:

g ' = 2 cos ⁡ 2 x

E a h :

h = x 3 + 2 x 2 / 3

e derivando temos o seguinte:

h ' = 2 3 x 3 + 2 x - 1 3 . ( 3 x 2 + 2 )

Beleza? Vamos guardar esses resultados!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é substituir esses resultados na regra do produto:

f ' = g ' h + h ' g

E do passo anterior:

g = s e n ( 2 x )

g ' = 2 cos ⁡ 2 x

E também:

h = x 3 + 2 x 2 / 3

h ' = 2 3 x 3 + 2 x - 1 3 . ( 3 x 2 + 2 )

Agora é só substituir:

f ' = 2 cos ⁡ 2 x . x 3 + 2 x 2 / 3 + 2 3 x 3 + 2 x - 1 3 . 3 x 2 + 2 . s e n ( 2 x )

Vamos simplificar?

Passo 4

Voltando para nossa derivada:

f ' = 2 cos ⁡ 2 x . x 3 + 2 x 2 / 3 + 2 3 x 3 + 2 x - 1 3 . 3 x 2 + 2 . s e n ( 2 x )

Transformando o expoente fracionário em radical e organizando os termos temos:

f ' = 2 cos ⁡ ( 2 x ) x 3 + 2 x 2 3 + 2 s e n 2 x 3 x 2 + 2 3 x 3 + 2 x 3

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

f ' = 2 cos ⁡ ( 2 x ) x 3 + 2 x 2 3 + 2 s e n 2 x 3 x 2 + 2 3 x 3 + 2 x 3

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