Determine os intervalos nos quais f x = ln ⁡ x / x é crescente e nos quais é decrescente.

Passo 1

Para chegar nesses extremos, precisamos derivar nossa função e depois, fazer uma tabelinha marota que vou ensinar vocês!!

Passo 2

Para essa derivada, vamos precisar utilizar a regra do quociente, pois temos a divisão de duas funções, correto? Essa regra é dada pela função f ' ( x ) logo a seguir:

f x = g x h x

f ' x = g x ' h x - g x h ' x h x 2

Vamos então chamar de g x = l n ⁡ ( x ) e h x = x . Logo, temos que g ' x = 1 x e h ' x = 1

Portanto,

f ' x = 1 x × x - l n ⁡ ( x ) x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2 = 1 x 2 - ln ⁡ x x 2

Passo 3

Vamos agora analisar termo a termo pra ver o que acontecerá!

Pra isso, vamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira da função encontrada no passo 2.

Vamos avaliar então:

Estamos avaliando essa função em alguns pontos. Note que para qualquer que seja o valor de x ≤ 0 não podemos avaliar, pois teríamos um l n ⁡ ( x ) inexistente, portanto, essa já é uma restrição da nossa derivada, certo? Ela só existirá para x > 0 .

Note que para valores de 0 < x < 1 , temos que a derivada vai ter mudança de sinal, vai passar de positivo para negativo, indicando que temos ali uma região decrescente, pois é como se a função estivesse crescendo.

E acima de x > 1 , temos a função sempre crescente. Logo, temos que

0,1 → f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e

1 , ∞ → f u n ç ã o   c r e s c e n t e

Resposta

0,1 → f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e

1 , ∞ → f u n ç ã o   c r e s c e n t e

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