Integrais Triplas
Calcule a integral tripla
Em que é o tetraedro sólido com vértices , , e
Passo 1
Vamos lá, temos que achar aquela integral que ele pediu. Vamos começar entendendo como é a cara desse tetraedro. Vamos colocar os pontos no e ver como vai ficar essa bagunça.
Pela figura conseguimos perceber que o vai de ao plano, e vão ficar limitados a região que é a base desse tetraedro. A primeira coisa a fazer é achar a equação do plano, a equação do plano vai ser
Substituindo os pontos vamos ter, primeiro
Depois
Agora
Então vamos ter
Cortando esse
Então vai de até
A região vai ficar
Falta acharmos
Passo 2
Agora vamos desenha no plano aquela região
Aqui podemos fazer duas coisas ou limitar de até a reta ou limitar de até a reta. Vamos limitar , mas não faz a menor diferença. O detalhe aqui é que uma variável vai ser limitada por funções e outra vai ser limitada por números.
Repara que vamos ter indo de até aquela reta, e indo de à , falta achar a equação dessa reta que passa por e
A equação da reta é
Então, substituindo na equação, vamos ter
Agora substituindo na equação vamos ter
Isso nos diz que
E a equação da reta vai ser
Vamos reescrever a região agora
Passo 3
Vamos ver agora como fica a nossa integral
Vamos resolver essa integral
Aqui vale um comentário rápido, o gabarito que achamos dessa prova está errado, o resultado final dele é , mas eu fiz essa integral, que ficou como a do gabarito no Mathematica e o valor deu esse que achamos, eles devem ter errado alguma conta por lá, pode confiar nessa resposta.
