Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Questão 2: Seja

U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |       y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x + z ≤ 1 ,   x ≥ y 2

  1. Obtenha funções f x ,   y , h 1 y e h 2 y e uma constante a tal que
  2. U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |   0 ≤ z ≤ f x ,   y   ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y   ,   0 ≤ y ≤ a

    Desenhe a projeção R de U no plano x y e explicite no desenho as equações cartesianas das curvas que compõe a fronteira de R .

  3. Considere a integral tripla
  4. I = ∭ U   g x ,   y ,   z   d x d y d z

    Escreva I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito à variável z , em seguida com respeito à x e finalmente integrando com respeito à y .

  5. Fazendo g x ,   y ,   z = 2 y e z , calcule

I = ∭ U   2 y e z   d z d x d y

Passo 1

a )

Bem, se você perceber, essa forma de descrever um sólido, com y entre números, x entre funções de y e z entre superfícies em função de x e y , caracteriza uma descrição de sólido do tipo I I . E como qualquer descrição, é muito válido a gente fazer uma representação gráfica desse sólido, não acha? Então essa é a nossa primeira tarefa... Desenhar o gráfico de U :

Como o próprio enunciado nos disse, U é esse cara aqui:

U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |       y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x + z ≤ 1 ,   x ≥ y 2

Onde dele, podemos tirar algumas igualdades interessantes:

1 º )             y = 0                    

2 º )             z = 0                  

3 º )             x + z = 1

4 º )             x = y 2          

Essas igualdades representam superfícies quando a gente as desenha no espaço. Por exemplo, as duas primeiras são paredes que esta delimitando o sólido, e essas paredes são planos:

A terceira, caso estivéssemos trabalhando no plano z x , ela nos representaria uma reta, mas como estamos trabalhando no espaço e, pela equação, independe de y , então o plano é paralelo a esse eixo, como se puxássemos essa reta:

A quarta e última superfície, assim como o plano, se estivéssemos trabalhando no plano x y , ela seria uma parábola, como estamos no espaço e a equação não possui z , isso significa que a o que precisamos fazer é “puxar” essa parábola pra cima de forma que ela faça um cilindro paralelo ao eixo z :

E eis o nosso sólido U abaixo desse plano !

Passo 2

Ok, a gente quer descrever a U , agora dessa forma aqui:

U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |   0 ≤ z ≤ f x ,   y   ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y   ,   0 ≤ y ≤ a

Veja que o primeiro deles, temos que ter um z variando entre superfícies. Se você ver o nosso sólido novamente, podemos pegar o z variando da base 0 até o “teto” formado pelo plano azul...

0 ≤ z ≤ p l a n o   a z u l

Como o plano azul tem equação...

x + z = 1       →             z = 1 - x

Logo...

0 ≤ z ≤ 1 - x

Passo 3

Para a variação de x e y agora...

U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |   0 ≤ z ≤ f x ,   y   ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y   ,   0 ≤ y ≤ a

É bem legal a gente olhar para a superfície de cima pra baixo, ou seja, para a projeção de U no plano x y :

Veja que aí que x varia da parábola até essa borda perpendicular:

P a r á b o l a ≤ x ≤ b o r d a     p e r p e n d i c u l a r

A parábola tem equação...

x = y 2

y 2 ≤ x ≤ b o r d a     p e r p e n d i c u l a r

Para a borda perpendicular, veja que ela é o encontro do plano x + z = 1 com o plano z = 0 ...

x + 0 = 1       o u         x = 1

Logo...

y 2 ≤ x ≤ 1

Para a variação de y , bem, sabemos que ele já varia da reta y = 0 , até o último valor de y que é o ponto de encontro da b o r d a   p e r p e n d i c u l a r com a parábola:

0 ≤ y ≤ P o n t o   v e r d e

Para encontrar a coordenada desse ponto, basta substituir o valor de x = 1 da reta na equação da parábola:

x = y 2                   →                 y 2 = 1         →

y = 1

Logo...

0 ≤ y ≤ 1

Passo 4

Nesse passo, vamos apenas recapitular o que encontramos, tudo bem? Vimos que o sólido U pode ser classificado como do tipo I I , onde:

0 ≤ z ≤ 1 - x

y 2 �� x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Ou seja

U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |   0 ≤ z ≤ f x ,   y   ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y   ,   0 ≤ y ≤ a     →

U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |   0 ≤ z ≤ 1 - x   ,   y 2 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1

Passo 5

b )

Veja que quando esse item do problema nos pede para descrever essa integral aqui

I = ∭ U   g x ,   y ,   z   d x d y d z

Como...

“... na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito à variável z , em seguida com respeito à x e finalmente integrando com respeito à y .”

Veja que para fazer isso, precisamos justamente da região U descrita como do TIPO II, afinal se a última integral vai ser com relação à y , ele tem que ser o cara que varia entre números! Então aqui não tem muito a fazer, basta substituir as variações de tipo I I na integral:

0 ≤ z ≤ 1 - x

y 2 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

I = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x g x ,   y ,   z   d z d x d y

Passo 6

c )

Considerando g x ,   y ,   z = 2 y e z

I = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x 2 y e z   d z d x d y

Integrando com relação a z , e portando considerando todas as outras variáveis como constantes...

I = �� 0 1 ∫ y 2 1 2 y ∫ 0 1 - x e z   d z d x d y =

∫ 0 1 ∫ y 2 1 2 y e z 0 1 - x d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 2 y e 1 - x - e 0 d x d y =

∫ 0 1 ∫ y 2 1 2 y e 1 - x - 1 d x d y =

Continuando a integral, e dessa vez em relação à x ...

∫ 0 1 2 y ∫ y 2 1 e 1 - x - 1 d x d y = ∫ 0 1 2 y e 1 - x - 1 - x y 2 1 d y =

∫ 0 1 2 y e 1 - 1 - 1 - 1 - e 1 - y 2 - 1 - y 2 d y =

∫ 0 1 2 y - 1 - 1 + e 1 - y 2 + y 2 d y = ∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y

Calculando essa ultima integral...

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = ∫ 0 1 - 4 y + 2 y 3   d y + ∫ 0 1 2 y e 1 - y 2   d y   →

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = - 4 y 2 2 + 2 y 4 4 0 1 + ∫ 0 1 2 y e 1 - y 2   d y     →

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = - 4 2 + 2 4 + ∫ 0 1 2 y e 1 - y 2   d y     →

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = - 3 2 + ∫ 0 1 2 y e 1 - y 2   d y    

Para calcular essa outra integral, podemos fazer uma substituição...

1 - y 2 = u           →             d u = - 2 y d y           o u           2 y d y = - d u

Trocando também as variações de y ...

y = 0               →                     u = 1 - y 2 = 1

y = 1               →                     u = 1 - 1 2 = 0

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = - 3 2 - ∫ 1 0 e u   d u →

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = - 3 2 - e u 1 0 →

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = - 3 2 - e 0 - e 1 →

∫ 0 1 - 4 y + 2 y e 1 - y 2 + 2 y 3   d y = - 3 2 - 1 + e

- 5 2 + e

Resposta

a )   U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |   0 ≤ z ≤ 1 - x   ,   y 2 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1

b )   I = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x g x ,   y ,   z   d z d x d y

c )   - 5 2 + e

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Calcule a integral iterada. ∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z e yd xd zd y
Calcule a integral iterada.int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x