- Calcule , onde é o sólido delimitado por , , , e .
Passo 1
Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?
Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui com essas três superfícies lindas , e . São os próprios planos coordenados. Veja!
Agora, essa superfície , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!
Passo 2
Para superfície que só dependem de duas incógnitas como , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, , note no plano nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:
Colocando esse mesmo plano no espaço...
Pois bem! Agora como essa equação não depende de , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo , saca? Então essa é a superfície:
No caso... É um plano !
Passo 3
Com relação à última superfície que compõe o sólido , nos representa ela, oh!!! PARABOLÓIDE! (fico emocionado quando te posso falar dele, pois esse cara é lindo )
Juntando então todas essas superfícies podemos ver quem é esse sólido , que é esse daqui oh:
O cara que está abaixo do teto parabólico e delimitado pelos planos, percebeu?
Passo 4
Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o , onde temos o variando de uma “base” até um “teto”
Como o paraboloide vermelho é justamente , basta
Quanto ao e ao , olhemos para a projeção do sólido no plano . Bora?
Passo 5
Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido
mas dessa vez, de cima para baixo:
Note que essa reta em vermelho escuro ali, é justamente a reta em que o plano toca o pano
Essa reta passa justamente por quando é , como pode ser reparado.
Descrever e é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita também utilizando a região :
- varia em um intervalo numérico:
- , entre funções:
Passo 6
Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!
Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o , seguido pelo e depois o :
Começando com a integral de dentro...
substituindo os limites de integração...
calculando a integral do meio tomando cuidado e considerando o como constante...
simplificando lembrando que
dando aquela simplificada marota
e substituindo chegamos a...