Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

b ) ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d y d x d z

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão bem padrão de integração tripla. Ele já da a integral bonitinha e precisa-se que você resolva.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrário vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Carinha, sempre lembrando a integral tripla ela sempre resolve a de dentro para a de fora, belezinha? Então precisaríamos resolver o d y primeiro, mas olha só os limites de integração depende de y   e   z então não podemos começar por d y . Sendo assim, precisamos começar pelo d x , logo

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d y d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d y d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 z z x e - y 2     y 0   d y d z

Aplicando os limites de integração temos que:

∫ 0 1 ∫ 0 z z y e - y 2       d y d z

Utilizando o método da substituição temos que:

u = - y 2

d u = - 2 y d y

Temos que a integral resultante se torna:

∫ 0 1 ∫ 0 z z y e - y 2       d y d z = ∫ 0 1 ∫ 1 - z 2 z e u     - d u d z

logo, temos que a integral resultante é:

- ∫ 0 1 z e u   - z 2 1 d z = ∫ 0 1 z 1 - e z 2 d z = ∫ 0 1 z d z - ∫ 0 1 z e - z 2 d z

Analisando a ultima integral verificamos que é similar ao caso anterior, logo podemos resolver por substituição e chegar no seguinte resultado:

∫ 0 1 z d z - ∫ 0 1 z e - z 2 d z = 1 - e - 1 2 e = e - 1 2 e

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d y d x d z = e - 1 2 e

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