Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Questão 4: Considerando o sólido

E = x ,   y ,   z ∈ R 3 ;     0 ≤ y ≤ 1 ,   y ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 6 y e x 3

Resolva o que se pede:

  1. Calcule

∭ E   x 2 y   d V

Passo 1

a )

Bem, normalmente é recomendado desenhar o sólido E primeiro, porém isso está muito fora de questão aqui, afinal veja que uma das superfícies é z = 6 y e x 3 (e não fazemos a menor ideia de quem seja esse cara). Contudo isso não é tão importante aqui, afinal nós temos o sólido E já bem descrito em termos de intervalos para as variáveis:

  0 ≤ y ≤ 1 y ≤ x ≤ 1 0 ≤ z ≤ 6 y e x 3  

Podemos então escrever a integral tripla lembrando-se da ordem: O intervalo mais externo vem o intervalo numérico. A integral do meio pertence aquele que varia entre funções de uma única entre variável, e mais interna fica sendo...

∭ E   x 2 y   d V = ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 6 y e x 3 x 2 y   d z d x d y

Cuidado! A integral sempre DEVE ser montada dessa forma como explicado, ok? Então vamos calcula-la?

Passo 2

Começando pela integral de dentro em z tomando as outras variáveis como constante:

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 6 y e x 3 x 2 y   d z d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 1 x 2 y ∫ 0 6 y e x 3   d z d x d y =

∫ 0 1 ∫ y 1 x 2 y 6 y e x 3 d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 1 6 x 2 y 2 e x 3 d x d y

Integrando em x tomando y como constante então...

∫ 0 1 ∫ y 1 6 x 2 y 2 e x 3 d x d y = ∫ 0 1 6 y 2 ∫ y 1 x 2 e x 3 d x d y

Fazendo uma substituição simples:

x 3 = u           →

d u = 3 x 2 d x           o u                 x 2 d x = d u 3

Não se esquecendo de trocar também dos limites...

x = y           →               u = y 3

x = 1           →               u = 1

∫ 0 1 6 y 2 ∫ y 1 x 2 e x 3 d x d y = ∫ 0 1 6 y 2 ∫ y 3 1 e u d u 3 d y =

∫ 0 1 2 y 2 ∫ y 3 1 e u d u d y = ∫ 0 1 2 y 2 e u y 3 1 d y =

∫ 0 1 2 y 2 e 1 - e y 3 d y = ∫ 0 1 2 y 2 e - 2 y 2 e y 3 d y =

e ∫ 0 1 2 y 2   d y - 2 ∫ 0 1 y 2 e y 3 d y =

A primeira integral sai fácil...

e 2 y 3 3 0 1 - 2 ∫ 0 1 y 2 e y 3 d y =

2 e 3 - 2 ∫ 0 1 y 2 e y 3 d y =

Para essa outra integral, outra substituição a gente tem que fazer...

y 3 = t     →             y 2 d y = d t 3

Não se esquecendo dos limites...

y = 1               →             t = 1

y = 0               →             t = 0

2 e 3 - 2 ∫ 0 1 y 2 e y 3 d y = 2 e 3 - 2 ∫ 0 1 e t d t 3 =

2 e 3 - 2 3 e t 0 1 = 2 e 3 - 2 3 e 1 - 1 =

2 3

Resposta

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