Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Seja E o tetraetro sólido com vértices 1,1 , 0 ,   1,3 , 0 ,   3,1 , 0 ,   1,1 , 3 .

  1. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos 1,3 , 0 , 3,1 , 0 , 1,1 , 3 .
  2. Calcule a integral tripla ∭ E   x   d V

Passo 1

Fala povo, tudo bem? Olha só a macete bacana: 3 pontos definem um plano. Ok, ok, mas e daí? Bem, sabe o que também da pra fazer com 3 pontos? Duas retas! Sendo assim, podemos dar nome aos bois:

P = 1,3 , 0

Q = 3,1 , 0

R = 1,1 , 3

Basta montarmos vetores com esses pontos de forma que um desses pontos seja comum aos dois vetores. Escolhendo P como ponto em comum, temos:

P Q → = Q - P = 3,1 , 0 - 1,3 , 0 = 2 , - 2,0

P R → = R - P = 1,1 , 3 - 1,3 , 0 = 0 , - 2,3

Como que isso ajuda em algo, você deve estar se perguntando. Bem, lembre-se que a equação geral de um plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 é um ponto pertencente ao plano e a , b , c é a direção do vetor normal ao plano. Galera, ai que entra o pulo do gato! Se P Q → e P R → são coplanares, então um vetor perpendicular a eles será normal ao plano! Pra achar esse vetor, fazemos o produto vetorial:

P Q → × P R → = i j k 2 - 2 0 0 - 2 3

Calculando essa determinante, temos:

P Q → × P R → = - 2 3 i + 0 0 j + 2 - 2 k - 0 - 2 i + 3 2 j + 0 - 2 k

P Q → × P R → = - 6   i - 6 j - 4 k

P Q → × P R → = - 6 , - 6 , - 4

Usando o ponto P = 1,3 , 0 e as direções do vetor - 6 , - 6 , - 4 , chegamos na seguinte equação do plano:

- 6 ∙ x - 1 - 6 ∙ y - 3 - 4 ∙ z - 0 = 0

O que é o mesmo que:

6 x + 6 y + 4 z = 24

Passo 2

Show, pra fechar essa questão, vamos calcular ∭ E   x   d V sabendo que E é um tetraedro cheio de pontinhos. Pegando todos os pontos do enunciado, podemos esboçar esse tetraedro:

Se juntarmos essa imagem com a do plano, vemos que uma das fazes do tetraedro está inteiramente contida no plano:

O que mostra pra gente que o nosso limite de integração de z deve ser:

0 < z < P l a n o

Isolando z na equação do plano, temos:

6 x + 6 y + 4 z = 24

4 z = 24 - 6 x - 6 y

z = 6 - 3 2 x - 3 2 y

Logo:

0 < z < 6 - 3 2 x - 3 2 y

Já os limites de integração de x , y a gente tira olhando a base do tetraedro do plano x , y :

Onde a reta y = - x + 4 pode ser obtida fazendo um sistema de equações que inclua os pontos 1,3 e 3,1 :

y = a x + b

3 = a + b 1 = 3 a + b

Equação 1 menos equação 2 resulta em:

2 = - 2 a

a = - 1

Jogando esse valor de a em qualquer uma das duas equações, encontramos b = 4 . Sendo assim, pelo desenho, concluímos que:

1 < x < 3

1 < y < - x + 4

E a integral fica:

∭ E   x   d V = ∫ 1 3 ∫ 1 - x + 4 ∫ 0 6 - 3 2 x - 3 2 y x   d z   d y   d z

∭ E   x   d V = ∫ 1 3 ∫ 1 - x + 4 ∫ 0 6 - 3 2 x - 3 2 y x   d z   d y   d x

Passo 3

Bora fechar essa questão e partir pro abraço! Agora é só integrar! Pra começar, vamos fazer a integral mais interna:

∫ 0 6 - 3 2 x - 3 2 y x   d z

Pra ela, x nada mais é do que uma constante! Logo:

∫ 0 6 - 3 2 x - 3 2 y x   d z = x ∙ z z = 0 z = 6 - 3 2 x - 3 2 y = x ∙ 6 - 3 2 x - 3 2 y - 0

∫ 0 6 - 3 2 x - 3 2 y x   d z = 6 x - 3 2 x 2 - 3 2 x y

A integral tripla vira então uma integral dupla:

∭ E   x   d V = ∫ 1 3 ∫ 1 - x + 4 ∫ 0 6 - 3 2 x - 3 2 y x   d z   d y   d x

∭ E   x   d V = ∫ 1 3 ∫ 1 - x + 4 6 x - 3 2 x 2 - 3 2 x y   d y   d x

Novamente, a gente pega a integral mais interna, que é em função de y . Podemos ainda, pra enrolar menos, separar ela em três:

∫ 1 - x + 4 6 x - 3 2 x 2 - 3 2 x y   d y = ∫ 1 - x + 4 6 x   d y - ∫ 1 - x + 4 3 2 x 2   d y - ∫ 1 - x + 4 3 2 x y   d y

Pra primeira, temos:

∫ 1 - x + 4 6 x   d y = 6 x ∙ y y = 1 y = - x + 4 = 6 x ∙ - x + 3 = - 6 x 2 + 18 x

Pra segunda, temos:

∫ 1 - x + 4 3 2 x 2   d y = 3 2 x 2 ∙ y y = 1 y = - x + 4 = 3 2 x 2 ∙ - x + 3 = - 3 2 x 3 + 9 2 x 2

Pra terceira, temos:

∫ 1 - x + 4 3 2 x y   d y = 3 2 x ∙ y 2 2 y = 1 y = - x + 4 = 3 4 x ∙ - x + 4 2 - 1 2

∫ 1 - x + 4 3 2 x y   d y = 3 4 x ∙ x 2 - 8 x + 16 - 1

∫ 1 - x + 4 3 2 x y   d y = 3 4 x ∙ x 2 - 8 x + 15 = 3 4 x 3 - 24 4 x 2 + 45 4 x

Juntando as três, temos:

∫ 1 - x + 4 6 x - 3 2 x 2 - 3 2 x y   d y = - 6 x 2 + 18 x - - 3 2 x 3 + 9 2 x 2 - 3 4 x 3 - 24 4 x 2 + 45 4 x

∫ 1 - x + 4 6 x - 3 2 x 2 - 3 2 x y   d y = - 6 x 2 + 18 x + 3 2 x 3 - 9 2 x 2 - 3 4 x 3 + 24 4 x 2 - 45 4 x

O que, juntando termos em comum, resulta em:

∫ 1 - x + 4 6 x - 3 2 x 2 - 3 2 x y   d y = 3 4 x 3 - 9 2 x 2 + 27 4 x

Ufa, quase lá! Pra fechar, a gente vai remontar e integral, que vai ganhar a forma final de:

∭ E   x   d V = ∫ 1 3 3 4 x 3 - 9 2 x 2 + 27 4 x   d x

E agora é só integrar normal em relação a x ! Vamos ter:

∭ E   x   d V = 3 x 4 16 - 9 x 3 6 + 27 x 2 8 x = 1 x = 3

∭ E   x   d V = 243 16 - 243 6 + 243 8 - 3 16 - 9 6 + 27 8

∭ E   x   d V = 240 16 - 234 6 + 216 8 = 120 8 - 234 6 + 216 8 = 336 8 - 234 6

Continuando a simplificação, chegamos a:

∭ E   x   d V = 42 - 234 6 = 252 6 - 234 6 = 18 6 = 3

Resposta

  1. 6 x + 6 y + 4 z = 24
  2. ∭ E   x   d V = 3

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