Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule

∫ ∫ ∫ D y d x d y d z , onde onde D é a região abaixo do plano z   =   x   +   2 y e acima da região no plano x y limitada pelas curvas y   =   x 2 ,   y   =   0   e   x   =   1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ ∫ D y d x d y d z , onde D é a região abaixo do plano z   =   x   +   2 y e acima da região no plano x y limitada pelas curvas y   =   x 2 ,   y   =   0   e   x   =   1 .

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região D .

D é a região abaixo do plano z   =   x   +   2 y e acima da região no plano x y limitada pelas curvas y   =   x 2 ,   y   =   0   e   x   =   1 .

Ou seja, temos que

0 ≤ z ≤ x + 2 y

das restrições

y   =   x 2 ,   y   =   0   e   x   =   1 .

descobrimos que

0 ≤ y ≤ x 2

0 ≤ x ≤ 1

Então vamos montar nossa integral

∫ ∫ ∫ D y d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ∫ 0 x + 2 y y d z d y d x

integrando em z

= ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 y ( x + 2 y ) d y d x

Agora, vamos integrar em y

= ∫ 0 1 y 2 x / 2 + 2 y 3 / 3 )   | y = x 2 y = 0 d x

= ∫ 0 1 x 5 / 2 + 2 x 6 / 3 )   d x

Por fim temos que

= x 6 / 12 + 2 x 7 / 21 | x = 1 x = 0

= 1 / 12 + 2 / 21

= 5 / 28

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

5 / 28

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