Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Questão 5: Calcule a integral tripla

∭ E   x y z   d V

Onde E é o tetraedro sólido com vértices 0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 , 0 , 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 .

Passo 1

Vamos lá, temos que achar aquela integral que ele pediu. Vamos começar entendendo como é a cara desse tetraedro. Vamos colocar os pontos no 3 D e ver como vai ficar essa bagunça.

Pela figura conseguimos perceber que o z vai de 0 ao plano, e x y vão ficar limitados a região D que é a base desse tetraedro. A primeira coisa a fazer é achar a equação do plano, a equação do plano vai ser

a x + b y + c z = d

Substituindo os pontos vamos ter, primeiro 1,0 , 0

a = d

Depois 0,1 , 0

b = d

Agora 0,0 , 1

c = d

Então vamos ter

d x + d y + d z = d

Cortando esse d

x + y + z = 1

Então z vai de 0 até z = 1 - x - y

A região T vai ficar

T = x , y , z ∈ R 3 x , y ∈ D ; 0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Falta acharmos D

Passo 2

Agora vamos desenha no plano x y aquela região D

Aqui podemos fazer duas coisas ou limitar x de 0 até a reta ou limitar y de 0 até a reta. Vamos limitar y , mas não faz a menor diferença. O detalhe aqui é que uma variável vai ser limitada por funções e outra vai ser limitada por números.

Repara que vamos ter y indo de 0 até aquela reta, e x indo de 0 à 1 , falta achar a equação dessa reta que passa por 1,0 e 0,1

A equação da reta é

y = a x + b

Então, substituindo 1,0 na equação, vamos ter

0 = a + b

Agora substituindo 0,1 na equação vamos ter

1 = b

Isso nos diz que

a = - b = - 1

E a equação da reta vai ser

y = - x + 1

Vamos reescrever a região T agora

T = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ - x + 1 ; 0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Passo 3

Vamos ver agora como fica a nossa integral

∭ E   x y z   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 ∫ 0 1 - x - y x y z   d z d y d x

Vamos resolver essa integral

∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 x y ∫ 0 1 - x - y z   d z d y d x =

∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 x y z 2 2 0 1 - x - y d y d x =

∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 x y 1 - x - y 2 2 d y d x =

Fazendo uma mudança...

1 - x - y = a         →             d a = - d y         o u         d y = - d a

Mudando também as constantes de integração de y ...

y = 0                     →               a = 1 - x

y = - x + 1                     →               a = 1 - x + x - 1 = 0

∫ 0 1 ∫ 0 - x + 1 x y 1 - x - y 2 2 d y d x = ∫ 0 1 ∫ 1 - x 0 x 1 - x - a a 2 2 - d a d x =

- ∫ 0 1 ∫ 1 - x 0 x a 2 2 - x 2 a 2 2 - x a 3 2   d a   d x =

- ∫ 0 1 x 2 ⋅ a 3 3 - x 2 2 ⋅ a 3 3 - x 2 ⋅ a 4 4 1 - x 0 d x =

- ∫ 0 1 - x 2 ⋅ 1 - x 3 3 - x 2 2 ⋅ 1 - x 3 3 - x 2 ⋅ 1 - x 4 4 d x =

- ∫ 0 1 - x 1 - x 3 2 1 3 - x 3 - 1 - x 4 d x =

- ∫ 0 1 - x 1 - x 3 2 1 - x 3 - 1 - x 4 d x =

- ∫ 0 1 - x 1 - x 4 6 - x 1 - x 4 8 d x =

Trocando...

1 - x = t       →             d t = - d x

x = 0         →                 t = 1

x = 1         →                 t = 0

- ∫ 1 0 1 - t t 4 6 - 1 - t t 4 8 d t = ∫ 0 1 1 - t t 4 6 - 1 - t t 4 8 d t =

∫ 0 1 4 t 4 - t 5 24 - 3 t 4 - t 5 24 d t =

1 24 ∫ 0 1 4 t 4 - 4 t 5 - 3 t 4 + 3 t 5 d t =

1 24 ∫ 0 1 t 4 - t 5 d t =

1 24 t 5 5 - t 6 6 0 1 = 1 24 1 5 - 1 6 =

1 24 1 30 = 1 720

Resposta

1 720

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