Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadros abaixo com três possíveis escritas). Sejam u e v funções de x e c um número real.

Utilize essa tabela e a tabela da lista de exercícios 2.5 na resolução dos exercícios.

Determine a derivada das funções abaixo.

e )   f x = cos ⁡ x + sin ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O exercício nos deu essa função aqui

f x = cos ⁡ x + sin ⁡ x x 2 + 1

E pediu para encontrarmos a sua derivada! Mas com duas ajudas. A primeira é essa tabela aqui

Com várias regras de derivadas! Essa tabela serve para identificarmos quando nossa função pode ser escrita como um produto/quociente/soma/subtração de outras duas (ou mais) funções! Super útil!

E a segunda é a tabela do exercício 2.5, vou resgatar ela para você:

Então, uma fez identificado como nossa função pode ser reescrita, vamos identificar a derivada das principais funções com essa segunda tabela! E aí é só substituir tudo!

Mas relaxa! Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Nossa função é:

f x = cos ⁡ x + sin ⁡ x x 2 + 1

De cara vemos que é uma razão de duas outras funções! Então aqui vamos usar a Regra do Quociente

Ela está na quarta linha da primeira tabela, essa aqui:

f x = u v → f ' x = u ' v - v ' u v 2

Identificamos que

u = cos ⁡ x + sin ⁡ x

v = x 2 + 1

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar u e v : v é um polinômio, vamos usar a primeira linha da segunda tabela

f x = x n → f ' x = n x n - 1

u é uma soma de seno e cosseno. Como a derivada da soma é a doma das derivadas, vamos usar a segunda linha da segunda tabela

f x = sin ⁡ x → f ' x = cos ⁡ x

f x = cos ⁡ x → f ' x = - sin ⁡ x

Aí temos

u = cos ⁡ x + sin ⁡ x → u ' = - sin ⁡ x + cos ⁡ x

v = x 2 + 1 → v ' = 2 x

Beleza?

Passo 4

Agora vamos substituir tudo na derivada do quociente!

Recapitulando nossa função:

f x = cos ⁡ x + sin ⁡ x x 2 + 1

E a regra do quociente

f ' x = u ' v - v ' u v 2

Do passo anterior:

u = cos ⁡ x + sin ⁡ x → u ' = - sin ⁡ x + cos ⁡ x

v = x 2 + 1 → v ' = 2 x

Agora #partiu substituir:

f ' x = ( - sin ⁡ x + cos ⁡ x ) x 2 + 1 - 2 x ( cos ⁡ x + sin ⁡ x ) x 2 + 1 2

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = ( - sin ⁡ x + cos ⁡ x ) x 2 + 1 - 2 x ( cos ⁡ x + sin ⁡ x ) x 2 + 1 2

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