10. (1EE-2017.2-Adaptada) Calcule as derivadas das seguintes funções:

a) f x = x l n x t g x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que obter a derivada da função f x dada por f x = x l n x t g x

Como podemos obter esse resultado?🤔

Olhando para f x , vemos que se trata de um quociente de duas funções: x l n x e t g x .

Nesse caso, podemos aplicar a regra do quociente que diz que a derivada de uma fração é dada por

f x = g x h x → f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Porém perceba que g x é o produto de funções, então em g ' x podemos aplicar a regra do produto

g x = p x q x → g ' x = p ' x q x + p x q ' x

Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra do quociente

f ' x = d x l n x d x · t g x - x l n x · d t g x d x t g x 2

Agora aplicando a rega do produto em d x l n x d x , temos

f ' x = d x d x · l n x + x · d l n x d x · t g x - x l n x · d t g x d x t g x 2

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de x é 1 .

d x d x = 1

Já pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de l n x e t g x são

d l n x d x = 1 x

d t g x d x = s e c 2 x

Substituindo em f ' x

f ' x = 1 · l n x + x · 1 x · t g x - x l n x · s e c 2 x t g x 2

f ' x = l n x + 1 t g x - x l n x s e c 2 x t g 2 x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = l n x + 1 t g x - x l n x s e c 2 x t g 2 x

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