Calcule a derivada das seguintes funções:

c )   f x = arccos ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = arccos ⁡ x

E pediu para calcularmos a derivada dela.

Uma inversa trigonométrica! Mas só sabemos a derivada das trigonométricas, não de suas inversas! E agora, como sair daqui?

Mas espera aí! A ideia é sempre sair do que conhecemos! Então a ideia aqui é chamar

y = f x = arccos ⁡ x

E aplicar a inversa

cos ⁡ y = x

E derivar implicitamente!

Nossa missão é usar derivada implícita para achar d y d x → f ' ( x ) . Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Bora lá!

Passo 2

Nosso truquinho:

cos ⁡ y = x

Agora derivando implicitamente em relação a x dos dois lados

- sin ⁡ y d y d x = 1

Isolando a derivada temos

d y d x = - 1 sin ⁡ y

E lembrando da identidade trigonométrica

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Assim

sin ⁡ y = 1 - cos 2 ⁡ y

Ficamos com

d y d x = - 1 1 - cos 2 ⁡ y

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Mas nossa derivada é em relação a x , então vamos arrumar!

Calma que não tem mais truque sujo!

Agora vamos lembrar que cos ⁡ y = x

d y d x = - 1 1 - cos 2 ⁡ y

Daí nossa derivada da inversa do cosseno é

d y d x = - 1 1 - x 2

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d y d x = - 1 1 - x 2

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