13. Calcule as derivadas das seguintes funções

c) h x = arccos ⁡ x s e n x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que obter a derivada da função h x dada por h x = arccos ⁡ x s e n x

Como podemos obter esse resultado? 🤔

Olhando para h x , vemos que se trata de um quociente de duas funções: arccos ⁡ x e s e n x .

Nesse caso, podemos aplicar a regra do quociente que diz que a derivada de uma fração é dada por

h x = g x f x → h ' x = g ' x f x - g x f ' x f x 2

bora começar! 😁

Passo 2

Aplicando a regra ao nosso caso, temos

h ' x = d arccos ⁡ x d x · s e n x - arccos ⁡ x · d s e n x d x s e n 2 x

Apelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de arccos ⁡ x e s e n x são

d arccos ⁡ x d x = - 1 1 - x 2

d s e n x d x = cos ⁡ x

Substituindo esses resultados em h ' x , temos

h ' x = - 1 1 - x 2 · s e n x - arccos ⁡ x · cos ⁡ x s e n 2 x

h ' x = - s e n x 1 - x 2 + arccos ⁡ x cos ⁡ x s e n 2 x

Simplificando...

h ' x = - 1 s e n x 1 - x 2 - arccos ⁡ x cos ⁡ x s e n 2 x

Se lembrarmos que algumas relações trigonométricas

1 s e n x = c o s s e c x

cos ⁡ x s e n 2 x = c o t g x c o s s e c x

Ou seja, h ' x também pode ser escrito como

h ' x = - c o s s e c x 1 - x 2 - arccos ⁡ x c o t g x c o s s e c x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

h ' x = - 1 s e n x 1 - x 2 - arccos ⁡ x cos ⁡ x s e n 2 x

Ou

h ' x = - c o s s e c x 1 - x 2 - arccos ⁡ x c o t g x c o s s e c x

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