Calcule a primeira derivada de todas as funções abaixo

b )   f x = e - x + c o s s e c   x 3 - e x

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma função! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui

f x = e - x + c o s s e c   x 3 - e x

Mas nota que temos uma razão de funções: no numerador ( e - x + c o s s e c   x e no denominador 3 - e x . Então como derivar uma razão? Com a Regra do Quociente

Seja uma função do tipo

f g

A derivada vai ser:

f g ' = f ' g - g ' f g 2

Mas espera aí! E o numerador, não temos uma composição de funções? Temos sim!

e - x + c o s s e c   x

Por fora temos a raiz e por dentro ainda a soma das funções exponencial e cossecante! Então precisamos lembrar da regra da cadeia:

f g ' = f ' g .   g '

Então precisamos derivar primeiro o numerador, para depois derivar a função mesmo, já que a derivada do quociente leva a derivada do numerador!

Beleza? Agora é só começar? Ainda não!

Nada mais justo do que começarmos com uma revisão das fórmulas de derivação que aprendemos, não é mesmo?

f x = c o s s e c x → f ' x = - c o s s e c ( x ) c o t g ( x )

f x = e x → f ' x = e x

Tranquilo até aqui?

Agora sim, #partiu derivar?

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = e - x + c o s s e c   x 3 - e x

Como falamos no passo 1 , vamos encontrar a derivada do numerador primeiro! Então precisamos derivar essa parte aqui

e - x + c o s s e c   x '

Vamos usar a regra da cadeia!

f g ' = f ' g .   g '

Por fora temos a raiz, e derivada de raiz você já vou por aí:

u ' = 1 2 u

u = e - x + c o s s e c   x , beleza?

Aí depois precisamos multiplicar pela derivada desse argumento:

e - x + c o s s e c   x ' = - e - x - c o s s e c x c o t g x

Agora é #partiu substituir na regra da cadeia:

e - x + c o s s e c   x ' = 1 2 u . - e - x - c o s s e c x c o t g x

= 1 2 e - x + c o s s e c   x . - e - x - c o s s e c x c o t g x

= - e - x - c o s s e c x c o t g x 2 e - x + c o s s e c   x

Tudo bem até aqui?

Agora vamos usar essa derivada na regra do quociente, que é nosso objetivo!

Bora lá!

Passo 3

Retornando para nossa função

f x = e - x + c o s s e c   x 3 - e x = f g

Agora que temos a derivada do numerador podemos aplicar a regra do quociente

f ' x = f ' g - g ' f g 2

No nosso caso

f = e - x + c o s s e c   x

f ' = - e - x - c o s s e c x c o t g x 2 e - x + c o s s e c   x

E também

g = 3 - e x

g ' = - e x

Agora nossa missão é substituir:

f ' x = - e - x - c o s s e c x c o t g x 2 e - x + c o s s e c   x 3 - e x - - e x e - x + c o s s e c   x 3 - e x 2

Podemos fazer poucas simplificações, mas fica tranquilo, a resposta vai ser enorme mesmo! Você não vai precisar fazer altas manobras aqui!

f ' x = - e - x - c o s s e c x c o t g x 3 - e x 2 e - x + c o s s e c   x 3 - e x 2 - - e x e - x + c o s s e c   x 3 - e x 2

f ' x = - e - x - c o s s e c x c o t g x 2 3 - e x e - x + c o s s e c   x + e x e - x + c o s s e c   x 3 - e x 2

Ufa terminamos! É isso pessoal! Vamos treinar mais?

Resposta

f ' ( x ) = - e - x - c o s s e c x c o t g x 2 3 - e x e - x + c o s s e c   x + e x e - x + c o s s e c   x 3 - e x 2

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