Calcule as seguintes derivadas

  1. tg(4x)

Passo 1

E aí, galerinha! Uma coisa que eu sempre gosto muito de fazer é, que, toda vez que aparecer uma função trigonométrica que não seja seno e cosseno, tentar alterar pra que apareça essas funções. Tipo assim, eu, particularmente, de cabeça, não sei qual é a derivada de tg(4x), mas a gente pode lembrar que:

t g 4 x = s e n 4 x cos ⁡ 4 x

E lembrando da regra do quociente, ela nos diz que:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Passo 2

Então aplicando a regra do quociente, vamos chamar de f x = s e n ( 4 x ) e g x = c o s ⁡ ( 4 x ) e vamos aplicar essa derivada aí.

De forma genérica, o bizu aqui é lembrar da derivada de s e n ( n x ) e c o s ⁡ ( n x )

d d x s e n n x = n c o s n x

d d x cos ⁡ n x = - n s e n ( n x )

Portanto, vamos ter que:

d d x s e n 4 x = 4 cos ⁡ 4 x

d d x cos ⁡ 4 x = - 4 s e n 4 x

Passo 3

Aplicando agora diretamente na nossa regra do quociente, temos:

t g 4 x ' = s e n 4 x ' cos ' ⁡ 4 x

s e n 4 x cos ⁡ 4 x ' = s e n 4 x ' cos ⁡ 4 x - s e n 4 x cos ' ⁡ 4 x cos 2 ⁡ 4 x

s e n 4 x cos ⁡ 4 x ' = 4 cos 2 ⁡ 4 x - 4 s e n 2 ( 4 x ) cos 2 ⁡ ( 4 x ) = 4 1 - s e n 2 4 x cos 2 ⁡ 4 x

Resposta

t g 4 x ' = 4 1 - s e n 2 4 x cos 2 ⁡ 4 x

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