Considere a curva definida pela equação x 3 - y 3 + 5 x y = 11 . Calcule d y d x e encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto ( 2,3 ) .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos entender essa questão aqui!!

Primeiramente, temos que lembrar que a Regra da Cadeia é dada por:

y n ' = n y ' y n - 1

Derivando implicitamente os dois lados da igualdade, temos:

x 3 - y 3 + 5 x y ' = 11 ' ∴

3 x 2 - 3 y 2 y ' + 5 x y ' = 0 ∴

3 x 2 - 3 y 2 y ' + 5 y + 5 x y ' = 0 ∴

y ' = 3 x 2 + 5 y 3 y 2 - 5 x

Passo 2

Dessa forma, para o ponto ( 2,3 ) , temos:

y ' 2,3 = 3 ∙ 2 2 + 5 ∙ 3 3 ∙ 3 2 - 5 ∙ 2 = 27 17

Esse valor que encontramos é o coeficiente angular da nossa reta que passa pelo ponto ( 2,3 ) , certinho?

Passo 3

Assim, nossa equação da reta é dada por:

y - 3 = 27 17 x - 2 ∴

17 y - 27 x + 3 = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y ' = 3 x 2 + 5 y 3 y 2 - 5 x

17 y - 27 x + 3 = 0

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