12) Derive a função. (Se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = 2 ⋅ x ⋅ cos ⁡ x ⋅ t g ( x )

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão?

Questão bem interessante que pede para derivarmos a função f x = 2 ⋅ x ⋅ cos ⁡ x ⋅ t g ( x )  

Nos deparamos com uma situação um pouco nova porque agora temos o produto de três funções diferentes, e na regra do produto geralmente vemos só para o produto de duas funções.

O que fazer nesses casos, certo?

A primeira coisa que precisamos verificar é se não dar pra simplificar a nossa função a algo que seja o produto de apenas duas outras funções. Vamos tentar fazer isso abrindo t g x = s e n x cos ⁡ x .

f x = 2 ⋅ x ⋅ cos ⁡ x ⋅ s e n x cos ⁡ x = 2 ⋅ x ⋅ s e n ( x )

Perfeito!! Conseguimos simplificar a nossa função, agora é só aplicar a regra do produto normalzinha.

Passo 2

Bom, primeiro relembrando que a constante multiplicando uma função pode ficar fora da derivada. Daí:

f ' x = 2 ⋅ x s e n x '

Pra calcular a derivada desse produto, podemos chamar:

h x =   x ∴ h ' x = 1

g x = s e n x ∴ g ' x = c o s ⁡ ( x )

Boa! Agora pela regra do produto, temos que:

f ' x = 2 ⋅ h ' x ⋅ g x + h x ⋅ g ' x

⇒ f ' x = 2 ⋅ 1 ⋅ s e n x + x ⋅ cos ⁡ x  

Prontinho, finalizando temos que:

f ' x = 2 ⋅ x c o s x + s e n x

😊

Resposta

f ' x = 2 ⋅ x c o s x + s e n x

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