13) Derive a função. (Se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = x ⋅ sec ⁡ x x 2 + 2 x + 3

Passo 1

Fala aí gente, tudo certo?

Basicamente, a questão nos pede para derivarmos a função f x = x ⋅ sec ⁡ x x 2 + 2 x + 3  

Aqui temos algo um pouco diferente, porque f é formada pelo quociente de um produto de funções no numerador e por um polinômio no denominador. Nesse caso, vamos precisar usar tanto a regra do quociente, como a regra do produto. Assim, revisando elas rapidinho, a regra do produto fala que:

Se m x = h x ⋅ g ( x ) , então:

m ' x = h ' x ⋅ g x + h x ⋅ g ' ( x )

Já a regra do quociente, diz que:

m x j x ' = m ' x ⋅ j x - m x ⋅ j ' x j 2 ( x )

Passo 2

Massa! Vamos dar nome às funções para conseguirmos aplicar nossas regrinhas!

Vamos olhar agora só o numerador e vamos chamar ele de m , pra ficar igual à notação da regra do produto ali no passo 1:

m x = x ⋅ s e c ⁡ ( x )

Pra aplicar a regra do produto precisamos nomear e derivar as duas funções que se multiplicam:

h x = x ∴ h ' x = 1

g x = sec ⁡ x ∴ g ' x = sec ⁡ x ⋅ t g x

Usando a regra do produto:

m ' x = x ' ⋅ sec ⁡ x + x ⋅ sec ⁡ x '

= sec ⁡ x + x ⋅ sec ⁡ x ⋅ t g x = sec ⁡ x ⋅ 1 + x t g x

Beleza, agora pra aplicar a regra do quociente, também vamos nomear e derivar a função do denominador:

j x = x 2 + 2 x + 3 ∴ j ' x = 2 x + 2

Passo 3

Ótimo! Como já temos todas as funções do problema, bem como as suas derivadas, vamos usar a regra do quociente para encontrar f ' ( x ) .

f ' x = m ' x ⋅ j x - m x ⋅ j ' x j 2 x

Substituindo as derivadas encontradas no passo 2:

= sec ⁡ x ⋅ 1 + x t g x ⋅ x 2 + 2 x + 3 -   x ⋅ sec ⁡ x ⋅ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 3 2    

Para simplificar um pouco, podemos colocar s e c ⁡ ( x ) em evidência. O que nos dá:

f ' x = sec ⁡ x ⋅ x 2 + 2 x + 3 - 2 x 2 - 2 x + x t g x ⋅ x 2 + 2 x + 3 x 2 + 2 x + 3 2

f ' x = sec ⁡ x ⋅ 3 - x 2 + t g x ⋅ x 3 + 2 x 2 + 3 x x 2 + 2 x + 3 2

Prontinho 😊

Resposta

f ' x = sec ⁡ x ⋅ 3 - x 2 + t g x ⋅ x 3 + 2 x 2 + 3 x x 2 + 2 x + 3 2

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